Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa số có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 4 m . Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)?

Để giải bài toán này, ta cần tìm kích thước của khung cửa sổ hình chữ nhật sao cho diện tích lớn nhất, với điều kiện chu vi của nó là 4 m. Gọi chiều dài của hình chữ nhật là \( x \) (m) và chiều rộng là \( y \) (m). Theo đề bài, chu vi của hình chữ nhật là 4 m, ta có phương trình: \[ 2x + 2y = 4 \] Từ đó, ta có thể rút ra: \[ x + y = 2 \] Diện tích \( A \) của hình chữ nhật được tính bằng: \[ A = x \times y \] Thay \( y = 2 - x \) vào biểu thức diện tích, ta có: \[ A = x(2 - x) = 2x - x^2 \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( A \), ta xét hàm số: \[ A(x) = 2x - x^2 \] Đây là một hàm bậc hai có dạng \( A(x) = -x^2 + 2x \), là một parabol có hệ số của \( x^2 \) âm, do đó đồ thị của nó là một parabol úp xuống. Đỉnh của parabol này sẽ cho ta giá trị lớn nhất của hàm số. Đỉnh của parabol \( A(x) = -x^2 + 2x \) có hoành độ: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1 \] Khi \( x = 1 \), ta có: \[ y = 2 - x = 2 - 1 = 1 \] Vậy, diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là: \[ A = 1 \times 1 = 1 \, \text{m}^2 \] Kết luận: Kích thước của khung cửa sổ để diện tích lớn nhất là \( 1 \, \text{m} \times 1 \, \text{m} \), và diện tích lớn nhất là \( 1 \, \text{m}^2 \).