Hộp sữa 1 l được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh x cm. Tìm x để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của $ x $ sao cho diện tích toàn phần của hộp sữa hình hộp chữ nhật là nhỏ nhất. Hộp sữa có thể tích là 1 lít, tức là $ 1000 \, \text{cm}^3 $. Bước 1: Thiết lập phương trình thể tích Hộp sữa có đáy là hình vuông cạnh $ x $ cm, và chiều cao là $ h $ cm. Thể tích của hộp là: $$ V = x^2 \cdot h = 1000 $$ Từ đó, ta có: $$ h = \frac{1000}{x^2} $$ Bước 2: Thiết lập hàm diện tích toàn phần Diện tích toàn phần $ S $ của hộp chữ nhật là tổng diện tích của đáy, nắp và bốn mặt bên: $$ S = 2x^2 + 4xh $$ Thay $ h = \frac{1000}{x^2} $ vào biểu thức của $ S $: $$ S = 2x^2 + 4x \cdot \frac{1000}{x^2} = 2x^2 + \frac{4000}{x} $$ Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm diện tích Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ S $, ta cần tính đạo hàm của $ S $ theo $ x $ và tìm nghiệm của phương trình $ S'(x) = 0 $. Tính đạo hàm: $$ S'(x) = \frac{d}{dx}\left(2x^2 + \frac{4000}{x}\right) = 4x - \frac{4000}{x^2} $$ Giải phương trình $ S'(x) = 0 $: $$ 4x - \frac{4000}{x^2} = 0 $$ $$ 4x^3 = 4000 $$ $$ x^3 = 1000 $$ $$ x = 10 $$ Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận Ta cần kiểm tra xem giá trị $ x = 10 $ có thực sự cho diện tích nhỏ nhất hay không. Xét dấu của $ S'(x) $: - Khi $ x < 10 $, $ S'(x) < 0 $ (hàm số giảm). - Khi $ x > 10 $, $ S'(x) > 0 $ (hàm số tăng). Do đó, $ S(x) $ đạt giá trị nhỏ nhất tại $ x = 10 $. Kết luận: Giá trị của $ x $ để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất là $ x = 10 $ cm.