chỉ cho tôi

Câu 17: Để tìm số giao điểm của hai đồ thị \( y = x^3 - x^2 + 1 \) và \( y = x^2 + 1 \), ta cần giải phương trình hoành độ giao điểm: \[ x^3 - x^2 + 1 = x^2 + 1 \] Rút gọn phương trình: \[ x^3 - x^2 - x^2 + 1 - 1 = 0 \] \[ x^3 - 2x^2 = 0 \] Đặt \( x^2 \) làm nhân tử chung: \[ x^2(x - 2) = 0 \] Phương trình này có nghiệm khi: 1. \( x^2 = 0 \) dẫn đến \( x = 0 \). 2. \( x - 2 = 0 \) dẫn đến \( x = 2 \). Vậy phương trình có hai nghiệm là \( x = 0 \) và \( x = 2 \). Để xác định số giao điểm, ta cần kiểm tra xem các giá trị này có thỏa mãn cả hai phương trình ban đầu không: - Với \( x = 0 \): - \( y = 0^3 - 0^2 + 1 = 1 \) - \( y = 0^2 + 1 = 1 \) Vậy \( (0, 1) \) là một giao điểm. - Với \( x = 2 \): - \( y = 2^3 - 2^2 + 1 = 8 - 4 + 1 = 5 \) - \( y = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \) Vậy \( (2, 5) \) là một giao điểm. Do đó, hai đồ thị có hai giao điểm. Vậy số giao điểm \( P = 2 \). Đáp án đúng là \( B.~P=2. \) Câu 18: Để tìm tọa độ điểm cắt duy nhất của đường thẳng \( y = 4x + 5 \) và đồ thị hàm số \( y = x^3 + 2x + 1 \), ta cần giải phương trình hoành độ giao điểm: \[ 4x + 5 = x^3 + 2x + 1. \] Rút gọn phương trình: \[ x^3 + 2x + 1 = 4x + 5 \] \[ x^3 + 2x + 1 - 4x - 5 = 0 \] \[ x^3 - 2x - 4 = 0. \] Để phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần kiểm tra điều kiện của phương trình bậc ba này. Ta xét đạo hàm của hàm số \( f(x) = x^3 - 2x - 4 \): \[ f'(x) = 3x^2 - 2. \] Xét phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 2 = 0 \] \[ 3x^2 = 2 \] \[ x^2 = \frac{2}{3} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}. \] Đạo hàm bậc hai: \[ f''(x) = 6x. \] Tại \( x = \sqrt{\frac{2}{3}} \), \( f''(x) = 6\sqrt{\frac{2}{3}} > 0 \), nên \( x = \sqrt{\frac{2}{3}} \) là điểm cực tiểu. Tại \( x = -\sqrt{\frac{2}{3}} \), \( f''(x) = -6\sqrt{\frac{2}{3}} < 0 \), nên \( x = -\sqrt{\frac{2}{3}} \) là điểm cực đại. Do đó, hàm số \( f(x) = x^3 - 2x - 4 \) có một cực đại và một cực tiểu. Để phương trình \( x^3 - 2x - 4 = 0 \) có nghiệm duy nhất, giá trị cực đại và cực tiểu phải cùng dấu hoặc một trong hai bằng 0. Tính giá trị cực đại và cực tiểu: - Giá trị cực đại tại \( x = -\sqrt{\frac{2}{3}} \): \[ f\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right) = \left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^3 - 2\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right) - 4. \] \[ = -\frac{2\sqrt{6}}{9} + \frac{4\sqrt{6}}{3} - 4. \] \[ = \frac{-2\sqrt{6} + 12\sqrt{6}}{9} - 4. \] \[ = \frac{10\sqrt{6}}{9} - 4. \] - Giá trị cực tiểu tại \( x = \sqrt{\frac{2}{3}} \): \[ f\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) = \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^3 - 2\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) - 4. \] \[ = \frac{2\sqrt{6}}{9} - \frac{4\sqrt{6}}{3} - 4. \] \[ = \frac{2\sqrt{6} - 12\sqrt{6}}{9} - 4. \] \[ = \frac{-10\sqrt{6}}{9} - 4. \] Cả hai giá trị cực đại và cực tiểu đều không bằng 0, do đó phương trình có nghiệm duy nhất. Giải phương trình \( x^3 - 2x - 4 = 0 \) bằng cách thử nghiệm: Thử \( x = 2 \): \[ 2^3 - 2 \times 2 - 4 = 8 - 4 - 4 = 0. \] Vậy \( x_0 = 2 \). Thay vào phương trình đường thẳng để tìm \( y_0 \): \[ y_0 = 4 \times 2 + 5 = 8 + 5 = 13. \] Vậy giá trị \( y_0 = 13 \). Đáp án đúng là \( B. \) Câu 19: Để xác định số điểm mà đồ thị của hàm số \( y = (x-3)(x^2+2) \) cắt trục hoành, ta cần tìm các giá trị của \( x \) sao cho \( y = 0 \). Phương trình cần giải là: \[ (x-3)(x^2+2) = 0 \] Phương trình này có hai nhân tử, do đó ta xét từng nhân tử: 1. \( x-3 = 0 \) cho ta nghiệm: \[ x = 3 \] 2. \( x^2+2 = 0 \) cho ta phương trình: \[ x^2 = -2 \] Phương trình này không có nghiệm thực vì bình phương của một số thực luôn không âm, do đó không thể bằng \(-2\). Kết luận: Phương trình \( (x-3)(x^2+2) = 0 \) chỉ có một nghiệm thực là \( x = 3 \). Vậy đồ thị (C) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất là \( x = 3 \). Do đó, mệnh đề đúng là: B. (C) cắt trục hoành tại một điểm. Câu 20: Để xác định mệnh đề đúng, ta cần phân tích đồ thị của hàm số bậc ba \( y = ax^3 + 3x + d \). 1. Xét hệ số \( a \): - Đồ thị hàm bậc ba có dạng đi lên từ trái qua phải, nghĩa là khi \( x \to -\infty \), \( y \to -\infty \) và khi \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \). Điều này chỉ xảy ra khi \( a > 0 \). 2. Xét hệ số \( d \): - Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ \( d \). Quan sát đồ thị, điểm cắt trục tung nằm phía dưới trục hoành, do đó \( d < 0 \). Từ hai phân tích trên, ta có \( a > 0 \) và \( d < 0 \). Vậy mệnh đề đúng là: \[ C.~a>0,d<0. \] Câu 21: Để xác định có bao nhiêu hệ số dương trong các hệ số \(a, b, c, d\) của hàm số \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\), ta cần phân tích đồ thị của hàm số bậc ba. 1. Xét hệ số \(a\): - Đồ thị có dạng đi từ góc phần tư thứ hai sang góc phần tư thứ tư, nghĩa là hàm số có dạng đi xuống từ trái qua phải. Điều này cho thấy hệ số \(a < 0\). 2. Xét hệ số \(b\): - Đồ thị có hai điểm cực trị, điều này cho thấy phương trình đạo hàm bậc hai có hai nghiệm phân biệt. Đạo hàm của hàm số là \(y' = 3ax^2 + 2bx + c\). - Để có hai nghiệm phân biệt, điều kiện là \(\Delta' = b^2 - 3ac > 0\). Tuy nhiên, để xác định dấu của \(b\), ta cần thêm thông tin từ đồ thị. 3. Xét hệ số \(c\): - Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm, điều này cho thấy phương trình \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) có ba nghiệm thực phân biệt. Điều này không trực tiếp cho biết dấu của \(c\). 4. Xét hệ số \(d\): - Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ \(d\). Từ hình ảnh, điểm này nằm phía trên trục hoành, do đó \(d > 0\). Từ phân tích trên, ta có: - \(a < 0\) - \(d > 0\) Vì không có thông tin rõ ràng về dấu của \(b\) và \(c\) từ đồ thị, ta chỉ có thể chắc chắn rằng chỉ có \(d\) là số dương. Vậy, có 1 hệ số dương trong các hệ số \(a, b, c, d\). Đáp án: C. 1. Câu 22: Để xác định số lượng số dương trong các hệ số \(a, b, c, d\) của hàm số \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\), ta cần phân tích đồ thị của hàm số bậc ba. 1. Hệ số \(a\): - Đồ thị có dạng đi từ góc phần tư thứ hai sang góc phần tư thứ tư, cho thấy hàm số có dạng đi xuống từ trái qua phải. Điều này chỉ ra rằng \(a < 0\). 2. Hệ số \(b\): - Đồ thị có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu, cho thấy hàm số có hai điểm uốn. Điều này thường xảy ra khi \(b\) có giá trị dương, vì nó ảnh hưởng đến sự thay đổi độ cong của đồ thị. 3. Hệ số \(c\): - Để xác định dấu của \(c\), ta cần xem xét hướng của tiếp tuyến tại gốc tọa độ. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương, cho thấy \(c\) có thể dương hoặc âm tùy thuộc vào vị trí của điểm cắt. Tuy nhiên, do đồ thị đi xuống từ trái qua phải, \(c\) có khả năng là âm. 4. Hệ số \(d\): - Đồ thị cắt trục tung tại một điểm có tung độ dương, do đó \(d > 0\). Tóm lại, trong các hệ số \(a, b, c, d\), chỉ có \(b\) và \(d\) là dương. Vậy có 2 số dương. Đáp án: B. 2. Câu 23: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích bảng biến thiên của hàm số \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \). 1. Xét dấu của \( a \): - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \) và khi \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \). Điều này cho thấy hệ số \( a \) phải dương. 2. Xét dấu của \( b \): - Hàm số có cực đại tại \( x = -2 \) và cực tiểu tại \( x = 0 \). Điều này cho thấy đạo hàm \( f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \) có nghiệm \( x = -2 \) và \( x = 0 \). - Từ bảng biến thiên, ta thấy \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm tại \( x = -2 \) và từ âm sang dương tại \( x = 0 \). Điều này cho thấy \( b \) phải âm để đảm bảo đồ thị có dạng như vậy. 3. Xét dấu của \( c \): - Từ bảng biến thiên, ta thấy \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương tại \( x = 0 \). Điều này cho thấy \( c \) phải dương để đảm bảo đồ thị có dạng như vậy. 4. Xét dấu của \( d \): - Giá trị của hàm số tại \( x = 0 \) là 1, tức là \( f(0) = d = 1 \). Do đó, \( d \) là dương. Tóm lại, các hệ số dương là \( a, c, d \). Vậy có 3 số dương trong các số \( a, b, c, d \). Đáp án: D. 3. Câu 24: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích bảng biến thiên của hàm số \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \). Bước 1: Xác định các điểm đặc biệt Từ bảng biến thiên, ta thấy: - Hàm số có hai điểm tới hạn tại \( x = 0 \) và \( x = 4 \). - Tại \( x = 0 \), hàm số có giá trị \( f(0) = 3 \). - Tại \( x = 4 \), hàm số có giá trị \( f(4) = -5 \). Bước 2: Xác định chiều biến thiên - Khi \( x < 0 \), \( f(x) \) giảm từ \(-\infty\) đến 3. - Khi \( 0 < x < 4 \), \( f(x) \) giảm từ 3 đến \(-5\). - Khi \( x > 4 \), \( f(x) \) tăng từ \(-5\) đến \(+\infty\). Bước 3: Xác định các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất - Giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi \( x = 0 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(-5\), đạt được khi \( x = 4 \). Bước 4: Kết luận Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể kết luận: - Hàm số \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) có giá trị lớn nhất là 3 tại \( x = 0 \) và giá trị nhỏ nhất là \(-5\) tại \( x = 4 \). - Hàm số giảm trên khoảng \((-∞, 4)\) và tăng trên khoảng \((4, +∞)\). Với các thông tin trên, ta đã phân tích đầy đủ bảng biến thiên của hàm số.