Câu 1 nhé. Câu 1. (2,5 điểm),a. Giải phương trình lượng giác sau: $\sin2x-\cos2x+\sin x+\cos x+1=0.$,b. Cho $\Delta ABC.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sin\frac A2\cos\frac B2+\sin\frac B2\cos\frac C2+\sin\frac C2\cos\frac A2.$

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Tất nhiên, tôi sẽ giúp bạn giải quyết bài toán theo các quy tắc đã nêu. Bạn có bài toán cụ thể nào cần giải không? Hãy cho tôi biết để tôi có thể hỗ trợ bạn một cách tốt nhất.

Câu 1:
Câu a: Giải phương trình lượng giác sau: $\sin2x-\cos2x+\sin x+\cos x+1=0.$

Ta có:
$$
\begin{array}{l}
\sin 2x - \cos 2x + \sin x + \cos x + 1 = 0 \
\Leftrightarrow (\sin 2x + 1) - \cos 2x + \sin x + \cos x = 0 \
\Leftrightarrow 2\sin^2 x + 2\sin x - (1 - 2\sin^2 x) + \sin x + \cos x = 0 \
\Leftrightarrow 4\sin^2 x + 3\sin x + \cos x - 1 = 0 \
\Leftrightarrow 4\sin^2 x + 3\sin x + \cos x - 1 = 0 \
\end{array}
$$

Đặt $t = \sin x$, ta có:
$$
4t^2 + 3t + \cos x - 1 = 0
$$

Do đó, ta có:
$$
4t^2 + 3t + \cos x - 1 = 0
$$

Giải phương trình này, ta được:
$$
t = \sin x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(4)(\cos x - 1)}}{8}
$$

Sau khi giải, ta được các nghiệm:
$$
x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{4} + k\pi, \quad x = \frac{7\pi}{4} + k\pi
$$

Câu b: Cho $\Delta ABC.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sin\frac A2\cos\frac B2+\sin\frac B2\cos\frac C2+\sin\frac C2\cos\frac A2.$

Ta có:
$$
P = \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A}{2}
$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
$$
(\sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A}{2})^2 \leq (\sin^2 \frac{A}{2} + \sin^2 \frac{B}{2} + \sin^2 \frac{C}{2})(\cos^2 \frac{B}{2} + \cos^2 \frac{C}{2} + \cos^2 \frac{A}{2})
$$

Do đó, ta có:
$$
P \leq \frac{3}{2}
$$

Dấu bằng xảy ra khi $A = B = C = 60^\circ$.

Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là $\frac{3}{2}$.