Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... 27. Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}u_1=1+\sqrt2\\frac{u_{n+1}-5u_n}{4u_{n+1}+5}=\frac{u_n}n,~\forall~n\in N\end{array} ight.*$ Tìm công thức $u_n$,28. Cho cấp số nhân, công bội $q0,~u_10$ thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l}u_1+u_2+...+u_n=2~0~1~6\\frac1{u_1}+\frac1{u_2}+...+\frac1{u_n}=2~0~1~5\end{array} ight.$,Tính $P=u_1.u_2...u_n$,29. Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_1=1,~u_{n+1}=\frac{u_n}{u_n+1},n=1,2,3...$ Tính giới hạn sau:,$\lim\frac{2~0~1~7~(u_1+1)(u_2+1)...(u_n+1)}{2~0~1~8~n}$,30. Cho dãy số được xác định như sau: $u_1=\frac12,~u_{n+1}=u^2_n-u_n,~\forall~n\in N^*.$ Chứng minh rằng dãy,số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... 27. Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}u_1=1+\sqrt2\\frac{u_{n+1}-5u_n}{4u_{n+1}+5}=\frac{u_n}n,~\forall~n\in N\end{array}ight.*$ Tìm công thức $u_n$,28. Cho cấp số nhân, công bội $q>0,~u_1>0$ thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l}u_1+u_2+...+u_n=2~0~1~6\\frac1{u_1}+\frac1{u_2}+...+\frac1{u_n}=2~0~1~5\end{array}ight.$,Tính $P=u_1.u_2...u_n$,29. Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_1=1,~u_{n+1}=\frac{u_n}{u_n+1},n=1,2,3...$ Tính giới hạn sau:,$\lim\frac{2~0~1~7~(u_1+1)(u_2+1)...(u_n+1)}{2~0~1~8~n}$,30. Cho dãy số được xác định như sau: $u_1=\frac12,~u_{n+1}=u^2_n-u_n,~\forall~n\in N^*.$ Chứng minh rằng dãy,số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Accepted Answer

Bài 27: Tìm công thức số hạng tổng quát $ u_n $

Cho dãy số: $$\begin{cases} u_1 = 1 + \sqrt{2}, \ \dfrac{u_{n+1} - 5u_n}{4u_{n+1} + 5} = \dfrac{u_n}{n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*.\end{cases}$$

Giải:

1. Biến đổi công thức truy hồi:

Từ phương trình: $$\dfrac{u_{n+1} - 5u_n}{4u_{n+1} + 5} = \dfrac{u_n}{n},$$

nhân chéo và rút gọn:

$$n(u_{n+1} - 5u_n) = u_n(4u_{n+1} + 5).$$

Sắp xếp lại:

$$u_{n+1}(n - 4u_n) = 5u_n(n + 1).$$

Chia cả hai vế cho $ u_n $:

$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{5(n + 1)}{n - 4u_n}.$$

2. Đặt $ v_n = \dfrac{1}{u_n} $:

Thay vào phương trình:

$$\dfrac{1}{v_{n+1}} = \dfrac{5(n + 1)}{n - \dfrac{4}{v_n}} \cdot \dfrac{1}{v_n}.$$

Rút gọn:

$$v_{n+1} = \dfrac{n v_n - 4}{5(n + 1)}.$$

3. Giải phương trình sai phân tuyến tính:

Đây là phương trình tuyến tính cấp 1. Giải nghiệm tổng quát:

$$v_n = \dfrac{C}{n} + \dfrac{4}{5},$$

với $ C $ là hằng số.

4. Xác định $ C $ từ điều kiện ban đầu:

Với $ n = 1 $:

$$v_1 = \dfrac{1}{u_1} = \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1.$$

Thay vào:

$$\sqrt{2} - 1 = C + \dfrac{4}{5} \Rightarrow C = \sqrt{2} - \dfrac{9}{5}.$$

5. Công thức tổng quát:

$$u_n = \dfrac{1}{v_n} = \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{2} - \dfrac{9}{5}}{n} + \dfrac{4}{5}}.$$

Kết quả:

$$u_n = \dfrac{5n}{4n + 5\sqrt{2} - 9}.$$

Bài 28: Tính tích $ P = u_1 u_2 \ldots u_n $

Cho cấp số nhân:

$$\begin{cases} u_1 + u_2 + \ldots + u_n = 2016, \ \dfrac{1}{u_1} + \dfrac{1}{u_2} + \ldots + \dfrac{1}{u_n} = 2015.\end{cases}$$

Giải:

1. Tổng cấp số nhân:

$$S_n = u_1 \dfrac{1 - q^n}{1 - q} = 2016.$$

Tổng nghịch đảo:

$$T_n = \dfrac{1}{u_1} \dfrac{1 - \dfrac{1}{q^n}}{1 - \dfrac{1}{q}} = 2015.$$

2. Chia hai phương trình:

$$\dfrac{S_n}{T_n} = u_1^2 q^{n-1} = \dfrac{2016}{2015}.$$

3. Tích $ P $:

$$P = u_1 u_2 \ldots u_n = u_1^n q^{\dfrac{n(n-1)}{2}}.$$

Từ phương trình trên:

$$u_1^2 q^{n-1} = \dfrac{2016}{2015} \Rightarrow P = \left( \dfrac{2016}{2015} \right)^{\dfrac{n}{2}}.$$

Kết quả:

$$P = \left( \dfrac{2016}{2015} \right)^{\dfrac{n}{2}}.$$

Bài 29: Tính giới hạn

Cho dãy số: $$u_1 = 1, \quad u_{n+1} = \dfrac{u_n}{u_n + 1}, \quad n \geq 1.$$

Tính:

$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{2017(u_1 + 1)(u_2 + 1) \ldots (u_n + 1)}{2018n}.$$

Giải:

1. Công thức truy hồi:

Đặt $ v_n = \dfrac{1}{u_n} $:

$$v_{n+1} = v_n + 1 \Rightarrow v_n = n.$$

Vậy $ u_n = \dfrac{1}{n} $.

2. Tích $ (u_1 + 1)(u_2 + 1) \ldots (u_n + 1) $:

$$\prod_{k=1}^n \left(1 + \dfrac{1}{k}\right) = \prod_{k=1}^n \dfrac{k + 1}{k} = \dfrac{(n + 1)!}{n!} = n + 1.$$

3. Giới hạn:

$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{2017(n + 1)}{2018n} = \dfrac{2017}{2018}.$$

Kết quả:

$$\dfrac{2017}{2018}.$$

Bài 30: Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn

Cho dãy số:

$$u_1 = \dfrac{1}{2}, \quad u_{n+1} = u_n^2 - u_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*.$$

Giải:

1. Xét tính đơn điệu:

- Với $ u_1 = \dfrac{1}{2} $, ta có:

$$u_2 = \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4}.$$

Tiếp tục: $ u_3 = \dfrac{5}{16} $, $ u_4 = -\dfrac{55}{256} $, ...

- Dãy không đơn điệu, nhưng giá trị tuyệt đối giảm.

2. Chứng minh hội tụ:

- Xét $ |u_n| \leq \dfrac{1}{2} $.

- Với $ u_n \in \left[ -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2} \right] $, ta có:

$$|u_{n+1}| = |u_n| (1 - |u_n|) \leq |u_n|.$$

Dãy giảm và bị chặn dưới bởi $-\dfrac{1}{2}$.

3. Giới hạn:

Giả sử $ \lim u_n = L $, thay vào công thức truy hồi:

$$L = L^2 - L \Rightarrow L = 0 \text{ hoặc } L = 2.$$

Do dãy bị chặn trong $\left[ -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2} \right]$, giới hạn là $ L = 0 $.

Kết quả:

$$\lim_{n \to \infty} u_n = 0.$$