giaii toann

Câu 5: Để xác định tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, ta cần quan sát hành vi của đồ thị khi \( x \to +\infty \) và \( x \to -\infty \). Quan sát đồ thị: 1. Khi \( x \to +\infty \), đồ thị tiến gần đến đường thẳng \( y = 1 \). 2. Khi \( x \to -\infty \), đồ thị cũng tiến gần đến đường thẳng \( y = 1 \). Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \( y = 1 \). Vậy đáp án đúng là \( C.~y=1. \) Câu 6: Ta có: \[ P = \log_2(a^2b^3) \] Sử dụng tính chất của logarit, ta có: \[ \log_2(a^2b^3) = \log_2(a^2) + \log_2(b^3) \] Tiếp tục áp dụng tính chất của logarit: \[ \log_2(a^2) = 2 \log_2(a) \] \[ \log_2(b^3) = 3 \log_2(b) \] Thay các giá trị đã cho vào biểu thức trên: \[ \log_2(a) = x \] \[ \log_2(b) = y \] Do đó: \[ \log_2(a^2) = 2x \] \[ \log_2(b^3) = 3y \] Vậy: \[ P = 2x + 3y \] Đáp án đúng là: \[ B.~P=2x+3y \] Câu 7: Để xác định điểm nào thuộc đường thẳng \(d\), ta cần kiểm tra xem tọa độ của điểm đó có thỏa mãn phương trình tham số của đường thẳng hay không. Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 4 - 5t \\ z = -5 + 3t \end{cases} \] Ta sẽ kiểm tra từng điểm: Điểm \(M(3;4;-5)\): - Thay \(x = 3\) vào phương trình \(x = 3 + 2t\), ta có: \[ 3 = 3 + 2t \implies t = 0 \] - Thay \(t = 0\) vào phương trình \(y = 4 - 5t\), ta có: \[ y = 4 - 5 \times 0 = 4 \] - Thay \(t = 0\) vào phương trình \(z = -5 + 3t\), ta có: \[ z = -5 + 3 \times 0 = -5 \] Vậy, điểm \(M(3;4;-5)\) thỏa mãn cả ba phương trình, nên \(M\) thuộc đường thẳng \(d\). Điểm \(N(2;-5;3)\): - Thay \(x = 2\) vào phương trình \(x = 3 + 2t\), ta có: \[ 2 = 3 + 2t \implies 2t = -1 \implies t = -\frac{1}{2} \] - Thay \(t = -\frac{1}{2}\) vào phương trình \(y = 4 - 5t\), ta có: \[ y = 4 - 5 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 4 + \frac{5}{2} = \frac{13}{2} \neq -5 \] Vậy, điểm \(N(2;-5;3)\) không thỏa mãn phương trình \(y\), nên \(N\) không thuộc đường thẳng \(d\). Điểm \(P(-3;-4;5)\): - Thay \(x = -3\) vào phương trình \(x = 3 + 2t\), ta có: \[ -3 = 3 + 2t \implies 2t = -6 \implies t = -3 \] - Thay \(t = -3\) vào phương trình \(y = 4 - 5t\), ta có: \[ y = 4 - 5 \times (-3) = 4 + 15 = 19 \neq -4 \] Vậy, điểm \(P(-3;-4;5)\) không thỏa mãn phương trình \(y\), nên \(P\) không thuộc đường thẳng \(d\). Điểm \(Q(2;5;-3)\): - Thay \(x = 2\) vào phương trình \(x = 3 + 2t\), ta có: \[ 2 = 3 + 2t \implies 2t = -1 \implies t = -\frac{1}{2} \] - Thay \(t = -\frac{1}{2}\) vào phương trình \(y = 4 - 5t\), ta có: \[ y = 4 - 5 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 4 + \frac{5}{2} = \frac{13}{2} \neq 5 \] Vậy, điểm \(Q(2;5;-3)\) không thỏa mãn phương trình \(y\), nên \(Q\) không thuộc đường thẳng \(d\). Kết luận: Điểm \(M(3;4;-5)\) thuộc đường thẳng \(d\). Câu 8: Để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\), ta cần xác định vectơ có tọa độ là các hệ số của tham số \(t\) trong phương trình tham số của đường thẳng. Đường thẳng \(\Delta\) có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -4 + 2t \\ y = 7 - 3t \\ z = 8 - 9t \end{array} \right. \] Từ phương trình trên, ta thấy các hệ số của \(t\) lần lượt là: - Hệ số của \(t\) trong phương trình của \(x\) là \(2\). - Hệ số của \(t\) trong phương trình của \(y\) là \(-3\). - Hệ số của \(t\) trong phương trình của \(z\) là \(-9\). Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) là \(\overrightarrow{u} = (2, -3, -9)\). Vậy đáp án đúng là \(D.~\overrightarrow{u}_4 = (2, -3, -9)\). Câu 9: Ta có: $(\frac34)^{2x-1}\leq(\frac43)^{-2+x}$ $\Leftrightarrow (\frac43)^{-(2x-1)}\leq(\frac43)^{-2+x}$ $\Leftrightarrow -2x+1\leq-2+x$ (vì cơ số $\frac43>1)$ $\Leftrightarrow -3x\leq-3$ $\Leftrightarrow x\geq1$ Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x\geq1$. Chọn đáp án A. Câu 10: Để tính công sai \( d \) của cấp số cộng \((u_n)\) có \( u_1 = -3 \) và \( u_6 = 27 \), ta sử dụng công thức tổng quát của cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Trong đó: - \( u_1 \) là số hạng đầu tiên, - \( d \) là công sai, - \( n \) là vị trí của số hạng trong dãy. Áp dụng công thức này cho \( u_6 \): \[ u_6 = u_1 + (6-1)d \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 27 = -3 + 5d \] Giải phương trình để tìm \( d \): \[ 27 = -3 + 5d \] \[ 27 + 3 = 5d \] \[ 30 = 5d \] \[ d = \frac{30}{5} \] \[ d = 6 \] Vậy công sai \( d \) của cấp số cộng là 6. Đáp án đúng là: \( D.~d=6 \). Câu 11: Để xác định đường thẳng nào nhận $\overrightarrow{u} = (-3; 2; 4)$ là một vectơ chỉ phương, ta cần kiểm tra xem hệ số của $t$ trong phương trình tham số của đường thẳng có tương ứng với các thành phần của vectơ $\overrightarrow{u}$ hay không. Xét từng phương án: Phương án A: \[ \left\{\begin{array}{l} x = -3 + 3t \\ y = 2 - t \\ z = 4 + 4t \end{array}\right. \] - Hệ số của $t$ trong phương trình $x = -3 + 3t$ là $3$, không khớp với $-3$ của $\overrightarrow{u}$. - Hệ số của $t$ trong phương trình $y = 2 - t$ là $-1$, không khớp với $2$ của $\overrightarrow{u}$. - Hệ số của $t$ trong phương trình $z = 4 + 4t$ là $4$, khớp với $4$ của $\overrightarrow{u}$. Phương án B: \[ \left\{\begin{array}{l} x = 3 + 3t \\ y = -1 + 2t \\ z = 4 + 4t \end{array}\right. \] - Hệ số của $t$ trong phương trình $x = 3 + 3t$ là $3$, không khớp với $-3$ của $\overrightarrow{u}$. - Hệ số của $t$ trong phương trình $y = -1 + 2t$ là $2$, khớp với $2$ của $\overrightarrow{u}$. - Hệ số của $t$ trong phương trình $z = 4 + 4t$ là $4$, khớp với $4$ của $\overrightarrow{u}$. Phương án C: \[ \left\{\begin{array}{l} x = 3 + 3t \\ y = 1 - 2t \\ z = 4 + 4t \end{array}\right. \] - Hệ số của $t$ trong phương trình $x = 3 + 3t$ là $3$, không khớp với $-3$ của $\overrightarrow{u}$. - Hệ số của $t$ trong phương trình $y = 1 - 2t$ là $-2$, không khớp với $2$ của $\overrightarrow{u}$. - Hệ số của $t$ trong phương trình $z = 4 + 4t$ là $4$, khớp với $4$ của $\overrightarrow{u}$. Phương án D: \[ \left\{\begin{array}{l} x = 3 - 3t \\ y = -1 + 2t \\ z = 4 + 4t \end{array}\right. \] - Hệ số của $t$ trong phương trình $x = 3 - 3t$ là $-3$, khớp với $-3$ của $\overrightarrow{u}$. - Hệ số của $t$ trong phương trình $y = -1 + 2t$ là $2$, khớp với $2$ của $\overrightarrow{u}$. - Hệ số của $t$ trong phương trình $z = 4 + 4t$ là $4$, khớp với $4$ của $\overrightarrow{u}$. Kết luận: Đường thẳng trong phương án D nhận $\overrightarrow{u} = (-3; 2; 4)$ là một vectơ chỉ phương. Câu 12: Để tìm số điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) = x(x^2 - 1)(x - 2)^2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm tới hạn: Các điểm tới hạn là các giá trị của \( x \) sao cho \( f'(x) = 0 \). Ta có: \[ f'(x) = x(x^2 - 1)(x - 2)^2 \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ x(x^2 - 1)(x - 2)^2 = 0 \] Giải phương trình này: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x - 2)^2 = 0 \] Từ đó: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \pm 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Vậy các điểm tới hạn là \( x = -1, 0, 1, 2 \). 2. Xác định dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng giữa các điểm tới hạn: Ta sẽ xét dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 0) \), \( (0, 1) \), \( (1, 2) \), và \( (2, \infty) \). - Khoảng \( (-\infty, -1) \): Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = (-2)((-2)^2 - 1)((-2) - 2)^2 = (-2)(4 - 1)(-4)^2 = (-2)(3)(16) = -96 < 0 \] Dấu của \( f'(x) \) là âm. - Khoảng \( (-1, 0) \): Chọn \( x = -0.5 \): \[ f'(-0.5) = (-0.5)((-0.5)^2 - 1)((-0.5) - 2)^2 = (-0.5)(0.25 - 1)(-2.5)^2 = (-0.5)(-0.75)(6.25) = 2.34375 > 0 \] Dấu của \( f'(x) \) là dương. - Khoảng \( (0, 1) \): Chọn \( x = 0.5 \): \[ f'(0.5) = (0.5)((0.5)^2 - 1)((0.5) - 2)^2 = (0.5)(0.25 - 1)(-1.5)^2 = (0.5)(-0.75)(2.25) = -0.84375 < 0 \] Dấu của \( f'(x) \) là âm. - Khoảng \( (1, 2) \): Chọn \( x = 1.5 \): \[ f'(1.5) = (1.5)((1.5)^2 - 1)((1.5) - 2)^2 = (1.5)(2.25 - 1)(-0.5)^2 = (1.5)(1.25)(0.25) = 0.46875 > 0 \] Dấu của \( f'(x) \) là dương. - Khoảng \( (2, \infty) \): Chọn \( x = 3 \): \[ f'(3) = (3)((3)^2 - 1)((3) - 2)^2 = (3)(9 - 1)(1)^2 = (3)(8)(1) = 24 > 0 \] Dấu của \( f'(x) \) là dương. 3. Xác định các điểm cực tiểu: Một điểm cực tiểu xảy ra khi \( f'(x) \) đổi từ âm sang dương. - Tại \( x = -1 \): \( f'(x) \) đổi từ âm sang dương. - Tại \( x = 0 \): \( f'(x) \) đổi từ dương sang âm. - Tại \( x = 1 \): \( f'(x) \) đổi từ âm sang dương. - Tại \( x = 2 \): \( f'(x) \) không đổi dấu (vẫn dương). Vậy, các điểm cực tiểu là \( x = -1 \) và \( x = 1 \). Kết luận: Số điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là 2. Đáp án: C. 2.