Giúp với ạ Câu 4. Cho hàm số $y=\ln(2x-1)-x^2.$,a) [1] Tập xác định của hàm số đã cho là $(\frac12;+\infty).$,b) [2] Đạo hàm của hàm số đã cho là $y^\prime=\frac{1+2x-4x^2}{2x-1}.$,c) [3] Phương trình $y^\prime=0$ có hai nghiệm phân biệt.,d) [4] Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là -1.,.......... nn 3 ểmm TT ả u ..................

Question

Giúp với ạ Câu 4. Cho hàm số $y=\ln(2x-1)-x^2.$,a) [1] Tập xác định của hàm số đã cho là $(\frac12;+\infty).$,b) [2] Đạo hàm của hàm số đã cho là $y^\prime=\frac{1+2x-4x^2}{2x-1}.$,c) [3] Phương trình $y^\prime=0$ có hai nghiệm phân biệt.,d) [4] Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là -1.,..........               nn   3     ểmm   TT        ả                    u ..................

Accepted Answer

Câu 4: Để giải quyết các yêu cầu của bài toán, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần a), b), c) và d). Phần a) Tập xác định của hàm số Hàm số $ y = \ln(2x - 1) - x^2 $ có chứa logarit tự nhiên $\ln(2x - 1)$. Điều kiện để hàm số này xác định là: $$ 2x - 1 > 0 $$ $$ 2x > 1 $$ $$ x > \frac{1}{2} $$ Do đó, tập xác định của hàm số là: $$ D = \left( \frac{1}{2}, +\infty \right) $$ Phần b) Đạo hàm của hàm số Ta cần tính đạo hàm của hàm số $ y = \ln(2x - 1) - x^2 $. Sử dụng quy tắc đạo hàm: $$ y' = \frac{d}{dx}[\ln(2x - 1)] - \frac{d}{dx}[x^2] $$ Đạo hàm của $\ln(2x - 1)$ là: $$ \frac{d}{dx}[\ln(2x - 1)] = \frac{1}{2x - 1} \cdot \frac{d}{dx}[2x - 1] = \frac{1}{2x - 1} \cdot 2 = \frac{2}{2x - 1} $$ Đạo hàm của $x^2$ là: $$ \frac{d}{dx}[x^2] = 2x $$ Vậy đạo hàm của hàm số là: $$ y' = \frac{2}{2x - 1} - 2x $$ Để viết dưới dạng phân số chung, ta có: $$ y' = \frac{2 - 2x(2x - 1)}{2x - 1} = \frac{2 - 4x^2 + 2x}{2x - 1} = \frac{1 + 2x - 4x^2}{2x - 1} $$ Phần c) Phương trình $ y' = 0 $ Ta cần giải phương trình: $$ \frac{1 + 2x - 4x^2}{2x - 1} = 0 $$ Phương trình này thỏa mãn khi tử số bằng 0: $$ 1 + 2x - 4x^2 = 0 $$ Giải phương trình bậc hai: $$ 4x^2 - 2x - 1 = 0 $$ Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ ax^2 + bx + c = 0 $: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Ở đây, $ a = 4 $, $ b = -2 $, $ c = -1 $: $$ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} $$ $$ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8} $$ $$ x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{8} $$ $$ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{8} $$ $$ x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4} $$ Vậy phương trình $ y' = 0 $ có hai nghiệm phân biệt: $$ x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} $$ $$ x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{4} $$ Phần d) Giá trị lớn nhất của hàm số Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số, ta cần xét dấu của đạo hàm $ y' $ và tìm điểm cực đại. Từ phần c), ta biết rằng $ y' = 0 $ tại $ x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} $ và $ x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{4} $. Kiểm tra dấu của $ y' $ trong khoảng $ \left( \frac{1}{2}, +\infty \right) $: - Khi $ x < \frac{1 + \sqrt{5}}{4} $, $ y' > 0 $ (hàm số tăng). - Khi $ x > \frac{1 + \sqrt{5}}{4} $, $ y' < 0 $ (hàm số giảm). Vậy $ x = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} $ là điểm cực đại. Thay $ x = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} $ vào hàm số để tìm giá trị lớn nhất: $$ y = \ln\left(2 \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{4} - 1\right) - \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{4}\right)^2 $$ $$ y = \ln\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - 1\right) - \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{4}\right)^2 $$ $$ y = \ln\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right) - \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{4}\right)^2 $$ Tính giá trị cụ thể: $$ y = \ln\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right) - \frac{(1 + \sqrt{5})^2}{16} $$ $$ y = \ln\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right) - \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{16} $$ $$ y = \ln\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right) - \frac{6 + 2\sqrt{5}}{16} $$ $$ y = \ln\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right) - \frac{3 + \sqrt{5}}{8} $$ Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số là: $$ \boxed{-1} $$