Xét tính chẵn, lẻ.

Để xét tính chẵn, lẻ của hàm số \( y = \frac{\sin x - \tan x}{\sin x + \cot x} \), chúng ta cần kiểm tra xem hàm số có thỏa mãn điều kiện của hàm chẵn hoặc hàm lẻ hay không. Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số Trước tiên, chúng ta cần xác định miền xác định của hàm số \( y = \frac{\sin x - \tan x}{\sin x + \cot x} \). - Hàm số \( \sin x \) xác định trên toàn bộ miền \( \mathbb{R} \). - Hàm số \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) xác định khi \( \cos x \neq 0 \), tức là \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \). - Hàm số \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \) xác định khi \( \sin x \neq 0 \), tức là \( x \neq k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \). Do đó, miền xác định của hàm số \( y \) là: \[ D = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \text{ và } x \neq k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \}. \] Bước 2: Kiểm tra tính chẵn, lẻ Hàm số \( y \) là hàm chẵn nếu \( f(-x) = f(x) \) và là hàm lẻ nếu \( f(-x) = -f(x) \). Tính \( f(-x) \): \[ f(-x) = \frac{\sin(-x) - \tan(-x)}{\sin(-x) + \cot(-x)}. \] Sử dụng các tính chất của các hàm lượng giác: - \( \sin(-x) = -\sin x \) - \( \tan(-x) = -\tan x \) - \( \cot(-x) = -\cot x \) Do đó: \[ f(-x) = \frac{-\sin x - (-\tan x)}{-\sin x + (-\cot x)} = \frac{-\sin x + \tan x}{-\sin x - \cot x}. \] So sánh \( f(-x) \) và \( f(x) \): \[ f(x) = \frac{\sin x - \tan x}{\sin x + \cot x}. \] Ta thấy: \[ f(-x) = \frac{-\sin x + \tan x}{-\sin x - \cot x} = \frac{-(\sin x - \tan x)}{-(\sin x + \cot x)} = \frac{\sin x - \tan x}{\sin x + \cot x} = f(x). \] Vậy \( f(-x) = f(x) \), do đó hàm số \( y = \frac{\sin x - \tan x}{\sin x + \cot x} \) là hàm chẵn. Kết luận Hàm số \( y = \frac{\sin x - \tan x}{\sin x + \cot x} \) là hàm chẵn.