Tìm nghiệm lớn nhất. Tìm nghiệm lớn nhất của phương trình $2\cos2x-1=0$ trong đoạn $[0;\pi].$

Question

Accepted Answer

Để giải phương trình $2\cos2x - 1 = 0$ trong đoạn $[0; \pi]$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giải phương trình $2\cos2x - 1 = 0$.

$$2\cos2x - 1 = 0$$
$$\Rightarrow 2\cos2x = 1$$
$$\Rightarrow \cos2x = \frac{1}{2}$$

Bước 2: Xác định các giá trị của $2x$ sao cho $\cos2x = \frac{1}{2}$.

Ta biết rằng $\cos\theta = \frac{1}{2}$ khi $\theta = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi$ với $k$ là số nguyên.

Do đó:
$$2x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi$$

Bước 3: Tìm các giá trị của $x$ trong đoạn $[0; \pi]$.

Xét trường hợp $2x = \frac{\pi}{3} + k2\pi$:
$$x = \frac{\pi}{6} + k\pi$$

Trong đoạn $[0; \pi]$, các giá trị của $x$ là:
$$x = \frac{\pi}{6} \quad \text{(với $k = 0$)}$$
$$x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \quad \text{(không nằm trong đoạn $[0; \pi]$)}$$

Xét trường hợp $2x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi$:
$$x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$$

Trong đoạn $[0; \pi]$, các giá trị của $x$ là:
$$x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \quad \text{(với $k = 1$)}$$
$$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \quad \text{(không nằm trong đoạn $[0; \pi]$)}$$

Bước 4: So sánh các nghiệm để tìm nghiệm lớn nhất.

Các nghiệm trong đoạn $[0; \pi]$ là:
$$x = \frac{\pi}{6}$$
$$x = \frac{5\pi}{6}$$

So sánh hai nghiệm này, ta thấy:
$$\frac{5\pi}{6} > \frac{\pi}{6}$$

Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình $2\cos2x - 1 = 0$ trong đoạn $[0; \pi]$ là:
$$x = \frac{5\pi}{6}$$