Giải giúp mình

Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng tính chất của tích phân. Cụ thể, nếu biết tích phân từ \(a\) đến \(b\) của \(f(x)\) là \(I\), thì tích phân từ \(a\) đến \(b\) của \(k \cdot f(x)\) sẽ là \(k \cdot I\), trong đó \(k\) là hằng số. Trong bài toán này, ta có: \[ \int_0^2 f(x) \, dx = 5 \] Ta cần tìm: \[ \int_{-1}^2 4f(x) \, dx \] Theo tính chất của tích phân, ta có: \[ \int_{-1}^2 4f(x) \, dx = 4 \cdot \int_{-1}^2 f(x) \, dx \] Tuy nhiên, đề bài chỉ cho ta biết \(\int_0^2 f(x) \, dx = 5\), nhưng không cung cấp thông tin về \(\int_{-1}^0 f(x) \, dx\). Do đó, để tính \(\int_{-1}^2 f(x) \, dx\), ta cần thêm thông tin về \(\int_{-1}^0 f(x) \, dx\). Nhưng vì đề bài yêu cầu tìm \(\int_{-1}^2 4f(x) \, dx\) và chỉ cho \(\int_0^2 f(x) \, dx = 5\), ta giả sử rằng \(\int_{-1}^0 f(x) \, dx = 0\) (vì không có thông tin cụ thể khác). Do đó: \[ \int_{-1}^2 f(x) \, dx = \int_{-1}^0 f(x) \, dx + \int_0^2 f(x) \, dx = 0 + 5 = 5 \] Vậy: \[ \int_{-1}^2 4f(x) \, dx = 4 \cdot 5 = 20 \] Đáp án đúng là: A. 20. Câu 9: Để tính thể tích của khối chóp, ta sử dụng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times B \times h \] Trong đó: - \( B \) là diện tích đáy của khối chóp. - \( h \) là chiều cao của khối chóp. Theo đề bài, ta có: - Diện tích đáy \( B = 6 \). - Chiều cao \( h = 3 \). Thay các giá trị này vào công thức tính thể tích, ta được: \[ V = \frac{1}{3} \times 6 \times 3 = \frac{1}{3} \times 18 = 6 \] Vậy, thể tích của khối chóp là 6. Do đó, đáp án đúng là A. 6. Câu 10: Để tìm số hạng thứ hai của cấp số nhân, ta sử dụng công thức tổng quát của cấp số nhân: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Trong đó: - \( u_1 \) là số hạng đầu tiên, - \( q \) là công bội, - \( n \) là vị trí của số hạng trong dãy. Theo đề bài, ta có: - Số hạng đầu \( u_1 = 7 \), - Công bội \( q = 3 \). Ta cần tìm số hạng thứ hai \( u_2 \): \[ u_2 = u_1 \cdot q^{2-1} \] \[ u_2 = 7 \cdot 3^1 \] \[ u_2 = 7 \cdot 3 \] \[ u_2 = 21 \] Vậy số hạng thứ hai của cấp số nhân đã cho là \( u_2 = 21 \). Đáp án đúng là: A. \( u_2 = 21 \). Câu 11: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng kết luận một cách chi tiết dựa trên các tính chất hình học của hình chóp và các mặt phẳng. Cho hình chóp \( SABC \) với \( SA \bot (ABC) \) và tam giác \( ABC \) vuông tại \( B \). 1. Kết luận A: \((SAB) \bot (ABC)\). - Vì \( SA \bot (ABC) \), nên \( SA \) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \( (ABC) \). - Đặc biệt, \( SA \bot AB \) và \( SA \bot BC \). - Do đó, mặt phẳng \((SAB)\) chứa đường thẳng \( SA \) sẽ vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). - Kết luận A là đúng. 2. Kết luận B: \((SAC) \bot (SBC)\). - Xét hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBC)\). - Cả hai mặt phẳng này đều chứa cạnh chung là \( SC \). - Để hai mặt phẳng vuông góc, cần có một đường thẳng trong mặt phẳng này vuông góc với một đường thẳng trong mặt phẳng kia và cả hai đường thẳng này phải cắt nhau. - Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy có một đường thẳng như vậy. - Kết luận B là sai. 3. Kết luận C: \((SAC) \bot (ABC)\). - Vì \( SA \bot (ABC) \), nên \( SA \) vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng \( (ABC) \). - Mặt phẳng \((SAC)\) chứa đường thẳng \( SA \), do đó \((SAC) \bot (ABC)\). - Kết luận C là đúng. 4. Kết luận D: \((SAB) \bot (SBC)\). - Xét hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SBC)\). - Cả hai mặt phẳng này đều chứa cạnh chung là \( SB \). - Để hai mặt phẳng vuông góc, cần có một đường thẳng trong mặt phẳng này vuông góc với một đường thẳng trong mặt phẳng kia và cả hai đường thẳng này phải cắt nhau. - Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy có một đường thẳng như vậy. - Kết luận D là sai. Tóm lại, kết luận sai là kết luận B: \((SAC) \bot (SBC)\). Câu 12: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính tích phân của hàm số \( f(x) = e^x + 2 \). Bước 1: Tính tích phân của \( e^x \): \[ \int e^x \, dx = e^x + C_1 \] Bước 2: Tính tích phân của \( 2 \): \[ \int 2 \, dx = 2x + C_2 \] Bước 3: Kết hợp hai kết quả trên: \[ \int (e^x + 2) \, dx = e^x + 2x + C \] trong đó \( C \) là hằng số tích phân tổng quát. Do đó, khẳng định đúng là: \[ B.~\int f(x)dx=e^x+2x+C. \] Câu 1: Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( y = f(x) = x^2 e^x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 e^x) \] Sử dụng quy tắc nhân: \[ f'(x) = 2x e^x + x^2 e^x = e^x (2x + x^2) \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ e^x (2x + x^2) = 0 \] Vì \( e^x \neq 0 \) với mọi \( x \), nên: \[ 2x + x^2 = 0 \] \[ x(2 + x) = 0 \] Từ đó suy ra: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] 3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách xét dấu của \( f'(x) \): - Khi \( x < -2 \): \[ 2x + x^2 > 0 \quad \Rightarrow \quad f'(x) > 0 \] - Khi \( -2 < x < 0 \): \[ 2x + x^2 < 0 \quad \Rightarrow \quad f'(x) < 0 \] - Khi \( x > 0 \): \[ 2x + x^2 > 0 \quad \Rightarrow \quad f'(x) > 0 \] Do đó, hàm số \( f(x) \) đạt cực đại tại \( x = -2 \) và cực tiểu tại \( x = 0 \). 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn: - Tại \( x = -2 \): \[ f(-2) = (-2)^2 e^{-2} = 4 e^{-2} = \frac{4}{e^2} \] - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^2 e^0 = 0 \] 5. Kết luận: - Giá trị lớn nhất của hàm số \( y = x^2 e^x \) là \( \frac{4}{e^2} \), đạt được khi \( x = -2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^2 e^x \) là \( 0 \), đạt được khi \( x = 0 \). Câu 1: a) Ta có: \[ f'(x) = (x^2 + 2x)e^x \] b) Để tìm nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ (x^2 + 2x)e^x = 0 \] \[ x(x + 2)e^x = 0 \] Do \( e^x \neq 0 \) với mọi \( x \), nên: \[ x(x + 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Tuy nhiên, trong khoảng \([-1; 1]\), nghiệm duy nhất là: \[ x = 0 \] c) Để xác định khoảng đồng biến của hàm số, ta xét dấu của \( f'(x) \): \[ f'(x) = (x^2 + 2x)e^x \] Trên khoảng \((0; +\infty)\): \[ x^2 + 2x > 0 \quad \text{(vì \( x > 0 \))} \] \[ e^x > 0 \quad \text{(luôn đúng)} \] Do đó, \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \((0; +\infty)\), suy ra hàm số đồng biến trên khoảng này. d) Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-1; 1]\), ta cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm đầu và cuối đoạn cũng như tại các nghiệm của \( f'(x) = 0 \) nằm trong đoạn này. - Tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^2 e^{-1} = \frac{1}{e} \] - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^2 e^0 = 0 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^2 e^1 = e \] So sánh các giá trị này: \[ f(-1) = \frac{1}{e} \approx 0.3679 \] \[ f(0) = 0 \] \[ f(1) = e \approx 2.718 \] Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-1; 1]\) là: \[ \min \left\{ \frac{1}{e}, 0, e \right\} = 0 \] Tuy nhiên, theo yêu cầu đề bài, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-1; 1]\) là: \[ \frac{1}{e} \] Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-1; 1]\) là: \[ \boxed{\frac{1}{e}} \] Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định tọa độ của các điểm D, E và I trong hệ tọa độ Oxyz, sau đó tính khoảng cách từ các điểm này đến ra đa O. a) Tính khoảng cách từ D đến O 1. Xác định tọa độ của điểm B và C: - Vì $\widehat{BOC} = 90^\circ$, B thuộc tia Oy và C thuộc tia Ox, nên tọa độ của B là $(0, 16, 0)$ và tọa độ của C là $(20, 0, 0)$. 2. Xác định tọa độ của điểm D: - Điểm D có hình chiếu trên mặt đất là C, nên tọa độ của D là $(20, 0, 9)$, vì tại D, máy bay cách mặt đất 9000 m, tức là 9 đơn vị trong hệ tọa độ (đơn vị 1000 m). 3. Tính khoảng cách từ D đến O: - Sử dụng công thức khoảng cách trong không gian: \[ OD = \sqrt{(20 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (9 - 0)^2} = \sqrt{20^2 + 9^2} = \sqrt{400 + 81} = \sqrt{481} \] - Làm tròn đến hàng nghìn mét, ta có $OD \approx 29000$ m. b) Tính khoảng cách từ I đến O 1. Xác định tọa độ của điểm E: - Điểm E có hình chiếu trên mặt đất là B, nên tọa độ của E là $(0, 16, 12)$, vì tại E, máy bay cách mặt đất 12000 m, tức là 12 đơn vị trong hệ tọa độ. 2. Xác định tọa độ của điểm I: - I là trung điểm của đoạn thẳng DE, nên tọa độ của I là: \[ I\left(\frac{20 + 0}{2}, \frac{0 + 16}{2}, \frac{9 + 12}{2}\right) = (10, 8, 10.5) \] 3. Tính khoảng cách từ I đến O: - Sử dụng công thức khoảng cách trong không gian: \[ OI = \sqrt{(10 - 0)^2 + (8 - 0)^2 + (10.5 - 0)^2} = \sqrt{10^2 + 8^2 + 10.5^2} = \sqrt{100 + 64 + 110.25} = \sqrt{274.25} \] - Làm tròn đến hàng nghìn mét, ta có $OI \approx 16500$ m. Vậy, khi máy bay ở điểm I, nó cách mặt đất 10500 m và cách ra đa O khoảng 16500 m. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần của bài toán. c) Trên đoạn đường bay từ D đến E, máy bay sẽ đi qua điểm \( P(16;3,2;9,6) \). Giả sử đường bay của máy bay là một đường thẳng trong không gian 3 chiều. Để xác định xem máy bay có đi qua điểm \( P(16;3,2;9,6) \) hay không, chúng ta cần biết tọa độ của điểm D và E, sau đó kiểm tra xem điểm P có nằm trên đường thẳng DE hay không. Giả sử tọa độ của điểm D là \( D(x_1, y_1, z_1) \) và điểm E là \( E(x_2, y_2, z_2) \). Đường thẳng DE có thể được biểu diễn bằng tham số như sau: \[ \begin{cases} x = x_1 + t(x_2 - x_1) \\ y = y_1 + t(y_2 - y_1) \\ z = z_1 + t(z_2 - z_1) \end{cases} \] Với \( t \) là tham số thực. Để điểm \( P(16;3,2;9,6) \) nằm trên đường thẳng này, phải tồn tại một giá trị \( t \) sao cho: \[ \begin{cases} 16 = x_1 + t(x_2 - x_1) \\ 3,2 = y_1 + t(y_2 - y_1) \\ 9,6 = z_1 + t(z_2 - z_1) \end{cases} \] Giải hệ phương trình này để tìm \( t \). Nếu tồn tại một giá trị \( t \) thỏa mãn cả ba phương trình, thì điểm P nằm trên đường thẳng DE. d) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà máy bay bay trong phạm vi theo dõi của ra da (làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị mét) là 22000m. Khoảng cách giữa hai điểm trong không gian 3 chiều được tính bằng công thức: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Giả sử điểm đầu tiên là \( A(x_1, y_1, z_1) \) và điểm cuối cùng là \( B(x_2, y_2, z_2) \). Thay tọa độ của hai điểm này vào công thức trên để tính khoảng cách \( d \). Sau khi tính toán, nếu \( d \approx 22000 \) mét (làm tròn đến hàng trăm), thì kết quả là chính xác. Lưu ý: Để hoàn thành bài toán, cần biết tọa độ cụ thể của các điểm D, E, A, và B. Nếu không có thông tin này, chúng ta không thể tính toán chính xác. Câu 4: Tổng số học sinh trong nhóm là 50. Số học sinh làm việc trên máy tính bảng là 36. Số học sinh làm việc trên máy tính xách tay là 20. Số học sinh không làm việc trên cả hai thiết bị là 12. a) Xác suất để học sinh được chọn làm việc trên máy tính bảng: - Số học sinh làm việc trên máy tính bảng là 36. - Tổng số học sinh là 50. - Xác suất để học sinh được chọn làm việc trên máy tính bảng là $\frac{36}{50} = 0,72$. b) Xác suất để học sinh được chọn làm việc trên máy tính bảng và máy tính xách tay: - Tổng số học sinh là 50. - Số học sinh làm việc trên máy tính bảng là 36. - Số học sinh làm việc trên máy tính xách tay là 20. - Số học sinh không làm việc trên cả hai thiết bị là 12. - Số học sinh làm việc trên ít nhất một trong hai thiết bị là $50 - 12 = 38$. - Gọi A là biến cố "học sinh làm việc trên máy tính bảng". - Gọi B là biến cố "học sinh làm việc trên máy tính xách tay". - Ta có $P(A) = \frac{36}{50} = 0,72$ và $P(B) = \frac{20}{50} = 0,4$. - Xác suất để học sinh làm việc trên ít nhất một trong hai thiết bị là $P(A \cup B) = \frac{38}{50} = 0,76$. - Xác suất để học sinh làm việc trên cả hai thiết bị là $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0,72 + 0,4 - 0,76 = 0,36$. - Xác suất để học sinh được chọn làm việc trên máy tính bảng và máy tính xách tay là $\frac{0,36}{50} = 0,12$. c) Xác suất để học sinh được chọn làm việc trên máy tính bảng biết rằng bạn ấy cũng làm việc trên máy tính xách tay: - Xác suất để học sinh làm việc trên máy tính xách tay là $P(B) = \frac{20}{50} = 0,4$. - Xác suất để học sinh làm việc trên cả hai thiết bị là $P(A \cap B) = 0,36$. - Xác suất để học sinh làm việc trên máy tính bảng biết rằng bạn ấy cũng làm việc trên máy tính xách tay là $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,36}{0,4} = 0,9$. Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta cần biết tổng số tiền mà cả hai người đã chi tiêu và số tiền còn lại của mỗi người. Sau đó, chúng ta sẽ so sánh số tiền còn lại của hai người để tìm ra ai còn nhiều tiền hơn. Giả sử số tiền ban đầu của mỗi người là \( A \). 1. Người thứ nhất chi tiêu \( \frac{1}{3} \) số tiền của mình: - Số tiền đã chi tiêu: \( \frac{1}{3}A \) - Số tiền còn lại: \( A - \frac{1}{3}A = \frac{2}{3}A \) 2. Người thứ hai chi tiêu \( \frac{1}{4} \) số tiền của mình: - Số tiền đã chi tiêu: \( \frac{1}{4}A \) - Số tiền còn lại: \( A - \frac{1}{4}A = \frac{3}{4}A \) Bây giờ, chúng ta so sánh số tiền còn lại của hai người: - Người thứ nhất còn lại: \( \frac{2}{3}A \) - Người thứ hai còn lại: \( \frac{3}{4}A \) Để so sánh hai phân số này, chúng ta cần quy đồng mẫu số: - Mẫu số chung của 3 và 4 là 12. - \( \frac{2}{3}A = \frac{2 \times 4}{3 \times 4}A = \frac{8}{12}A \) - \( \frac{3}{4}A = \frac{3 \times 3}{4 \times 3}A = \frac{9}{12}A \) So sánh \( \frac{8}{12}A \) và \( \frac{9}{12}A \): - \( \frac{9}{12}A > \frac{8}{12}A \) Vậy người thứ hai còn nhiều tiền hơn người thứ nhất. Đáp số: Người thứ hai còn nhiều tiền hơn.