giải đúng sai câu 3

Câu 3: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B' và BC Hai đường thẳng A'B' và BC là hai đường thẳng chéo nhau trong không gian. Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta có thể sử dụng phương pháp hình chiếu hoặc tìm mặt phẳng trung gian. Trong hình lập phương, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau như A'B' và BC chính là độ dài cạnh của hình lập phương, tức là \( a \). Kết luận: Đúng, khoảng cách giữa A'B' và BC bằng \( a \). b) Góc giữa hai đường thẳng AB và B'D' Để tìm góc giữa hai đường thẳng AB và B'D', ta cần xác định vector chỉ phương của hai đường thẳng này. - Vector chỉ phương của AB là \(\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0)\). - Vector chỉ phương của B'D' là \(\overrightarrow{B'D'} = (0, a, a)\). Góc giữa hai vector \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{B'D'}\) được tính bằng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{B'D'}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{B'D'}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{B'D'} = a \cdot 0 + 0 \cdot a + 0 \cdot a = 0 \] Độ dài của các vector: \[ |\overrightarrow{AB}| = a, \quad |\overrightarrow{B'D'}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \] Vậy: \[ \cos \theta = \frac{0}{a \cdot a\sqrt{2}} = 0 \] Do đó, \(\theta = 90^\circ\). Kết luận: Sai, góc giữa AB và B'D' là \(90^\circ\), không phải \(45^\circ\). c) Góc giữa đường thẳng CD' và mặt phẳng (A'B'C'D') Để tìm góc giữa đường thẳng CD' và mặt phẳng (A'B'C'D'), ta cần tìm hình chiếu của CD' lên mặt phẳng đó. - Vector chỉ phương của CD' là \(\overrightarrow{CD'} = (0, a, a)\). - Mặt phẳng (A'B'C'D') có vector pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = (0, 0, 1)\). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được tính bằng: \[ \sin \alpha = \frac{|\overrightarrow{CD'} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CD'}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{CD'} \cdot \overrightarrow{n} = 0 \cdot 0 + a \cdot 0 + a \cdot 1 = a \] Độ dài của vector \(\overrightarrow{CD'}\): \[ |\overrightarrow{CD'}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \] Vậy: \[ \sin \alpha = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Do đó, \(\alpha = 45^\circ\). Kết luận: Sai, góc giữa CD' và mặt phẳng (A'B'C'D') là \(45^\circ\), không phải \(60^\circ\). d) Góc nhị diện \([(BCC'C'),BB',(BDD'D')]\) Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng có chung đường thẳng là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với đường chung tại cùng một điểm. - Mặt phẳng (BCC'C') có vector pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1} = (0, 1, 0)\). - Mặt phẳng (BDD'D') có vector pháp tuyến \(\overrightarrow{n_2} = (1, 0, 0)\). Góc giữa hai mặt phẳng được tính bằng: \[ \cos \beta = \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0 \] Vậy: \[ \cos \beta = 0 \] Do đó, \(\beta = 90^\circ\). Kết luận: Sai, góc nhị diện là \(90^\circ\), không phải \(45^\circ\).