Giải giúp mình $d)~P(AB)=0,725.$ $\overline d:\frac{x+2}1=\frac{y-2}{-1}=\frac z{-1}$ và mặt,Câu 4: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho đường thẳng TH1.24,phẳng $(P):~x+2y-3z+4=0.$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)..((_,a) Vectơ $\overrightarrow n=(1;1;-1)$,b) Đường thẳng d đi qua điểm $A(-2;2;0).~Đ$ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).,c) Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng $22,2^0$,nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc và cắt đường thẳng d . Khoảng cách từ gốc,d) Đường thẳng $\Delta$ $\underline{\sqrt{11}}.$ $O(0;0;0)$,toạ độ O đến đường thẳng. $\Delta$ bằng,Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 4:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

a) Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Mặt phẳng (P) có phương trình: 
$$ x + 2y - 3z + 4 = 0. $$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:
$$ \overrightarrow{n} = (1, 2, -3). $$

b) Phương trình đường thẳng d đi qua điểm $ A(-2, 2, 0) $

Đường thẳng d đi qua điểm $ A(-2, 2, 0) $ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1, 1, -1)$.

Phương trình tham số của đường thẳng d là:
$$
\begin{cases}
x = -2 + t, \
y = 2 + t, \
z = 0 - t,
\end{cases}
$$
với $ t \in \mathbb{R} $.

c) Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính bằng công thức:
$$
\sin \theta = \frac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n}|}{\|\overrightarrow{u}\| \cdot \|\overrightarrow{n}\|},
$$
trong đó $\overrightarrow{u} = (1, 1, -1)$ và $\overrightarrow{n} = (1, 2, -3)$.

Tính tích vô hướng:
$$
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot (-3) = 1 + 2 + 3 = 6.
$$

Tính độ dài của các vectơ:
$$
\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3},
$$
$$
\|\overrightarrow{n}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}.
$$

Do đó:
$$
\sin \theta = \frac{|6|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{14}} = \frac{6}{\sqrt{42}} = \frac{6}{\sqrt{42}}.
$$

Tính góc $\theta$:
$$
\theta = \arcsin\left(\frac{6}{\sqrt{42}}\right).
$$

Theo đề bài, góc này là $22,2^\circ$.

d) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng $\Delta$

Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số:
$$
\begin{cases}
x = -2 + t, \
y = 2 + t, \
z = -t,
\end{cases}
$$
với $ t \in \mathbb{R} $.

Khoảng cách từ điểm $ O(0, 0, 0) $ đến đường thẳng $\Delta$ được tính bằng công thức:
$$
d = \frac{\|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{u}\|}{\|\overrightarrow{u}\|},
$$
trong đó $\overrightarrow{OA} = (-2, 2, 0)$ và $\overrightarrow{u} = (1, 1, -1)$.

Tính tích có hướng:
$$
\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-2 & 2 & 0 \
1 & 1 & -1
\end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(-2 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(-2 \cdot 1 - 2 \cdot 1).
$$

$$
= \mathbf{i}(-2) - \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(-4) = (-2, -2, -4).
$$

Tính độ dài của tích có hướng:
$$
\|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{u}\| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24}.
$$

Do đó, khoảng cách là:
$$
d = \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.
$$

Vậy, khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng $\Delta$ là $2\sqrt{2}$.