Tính cosin.

Câu 3: Để tính cosin của góc giữa đường thẳng \( SD \) và mặt phẳng \( (SAC) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các yếu tố cơ bản: - Đáy \( ABCD \) là hình vuông cạnh \( a \), do đó các điểm \( A, B, C, D \) nằm trên cùng một mặt phẳng và các cạnh \( AB = BC = CD = DA = a \). - \( SA \) vuông góc với mặt phẳng đáy \( (ABCD) \) và có độ dài \( SA = a\sqrt{3} \). 2. Xác định mặt phẳng \( (SAC) \): - Mặt phẳng \( (SAC) \) được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng \( S, A, C \). 3. Tìm giao tuyến của mặt phẳng \( (SAC) \) với mặt phẳng đáy \( (ABCD) \): - Giao tuyến của hai mặt phẳng \( (SAC) \) và \( (ABCD) \) là đường thẳng \( AC \). 4. Tính góc giữa \( SD \) và mặt phẳng \( (SAC) \): - Để tính góc giữa đường thẳng \( SD \) và mặt phẳng \( (SAC) \), ta cần tìm hình chiếu vuông góc của \( SD \) lên mặt phẳng \( (SAC) \). - Hình chiếu vuông góc của \( D \) lên mặt phẳng \( (SAC) \) là điểm \( H \) trên \( AC \) sao cho \( DH \) vuông góc với \( AC \). 5. Tính độ dài hình chiếu và sử dụng định nghĩa cosin: - Do \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABCD) \), nên \( SD \) không vuông góc với \( AC \). Ta cần tìm hình chiếu của \( SD \) lên \( AC \). - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( SAD \), ta có: \[ SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \] - Hình chiếu của \( SD \) lên \( AC \) là đoạn \( SH \), với \( SH = SA = a\sqrt{3} \). 6. Tính cosin của góc giữa \( SD \) và mặt phẳng \( (SAC) \): - Cosin của góc giữa \( SD \) và mặt phẳng \( (SAC) \) là tỉ số giữa độ dài hình chiếu \( SH \) và độ dài \( SD \): \[ \cos \theta = \frac{SH}{SD} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Vậy, cosin của góc giữa \( SD \) và mặt phẳng \( (SAC) \) là \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).