trả lời ngắn án của câu đó.,Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật $AB=6,~AD=6\sqrt3,$ cạnh bên SA vuông góc với,157 đáy; góc tạo bởi mặt phẳng (SBD) và mặt đáy bằng $60^0.$ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD .

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 1:
Để tính thể tích của khối chóp $ S.ABCD $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các yếu tố cơ bản của hình chóp

- Đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB = 6 $ và $ AD = 6\sqrt{3} $.
- Cạnh bên $ SA $ vuông góc với đáy, do đó $ SA $ là đường cao của hình chóp.
- Góc giữa mặt phẳng $ (SBD) $ và mặt đáy $ (ABCD) $ là $ 60^\circ $.

Bước 2: Tính độ dài đường cao $ SA $

Do $ SA $ vuông góc với mặt phẳng đáy, ta có thể sử dụng góc giữa mặt phẳng $ (SBD) $ và mặt đáy để tìm $ SA $.

Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ S $ lên mặt phẳng đáy $ (ABCD) $. Vì $ SA $ vuông góc với đáy, $ H $ trùng với $ A $.

Góc giữa mặt phẳng $ (SBD) $ và mặt đáy là góc giữa đường thẳng $ SH $ và đường thẳng $ BD $. Do đó, ta có:
$$
\cos 60^\circ = \frac{AH}{SH} = \frac{AH}{SA}
$$
Vì $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $, ta có:
$$
\frac{AH}{SA} = \frac{1}{2} \Rightarrow SA = 2 \times AH
$$

Bước 3: Tính độ dài $ BD $

Vì $ ABCD $ là hình chữ nhật, ta có:
$$
BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 108} = \sqrt{144} = 12
$$

Bước 4: Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $

Thể tích khối chóp được tính theo công thức:
$$
V = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao}
$$

Diện tích đáy $ ABCD $ là:
$$
S_{ABCD} = AB \times AD = 6 \times 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}
$$

Chiều cao $ SA = 2 \times AH = 2 \times 6 = 12 $.

Do đó, thể tích khối chóp là:
$$
V = \frac{1}{3} \times 36\sqrt{3} \times 12 = 144\sqrt{3}
$$

Vậy, thể tích của khối chóp $ S.ABCD $ là $ 144\sqrt{3} $.