hãy giúp tôi

Bài 1: a) Bảng tần số tương đối: - Điểm 5: $\frac{4}{40} = 0,1$ - Điểm 6: $\frac{8}{40} = 0,2$ - Điểm 7: $\frac{10}{40} = 0,25$ - Điểm 8: $\frac{12}{40} = 0,3$ - Điểm 9: $\frac{6}{40} = 0,15$ b) Xác suất của biến cố "Chọn được học sinh có điểm Toán cao hơn 7": - Số học sinh có điểm Toán cao hơn 7 là 12 (điểm 8) + 6 (điểm 9) = 18 học sinh. - Xác suất của biến cố này là $\frac{18}{40} = 0,45$. Bài 2: Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ vì $\Delta=(-3)^2-4\times 1\times (-1010)=4049>0.$ Theo định lý Vi-et ta có: $x_1+x_2=3$ $x_1x_2=-1010$ Ta có: $A=x_1(x_1+3)-x_2(1-x_2)-4x_1$ $=x_1^2+3x_1-x_2+x_2^2-4x_1$ $=x_1^2+x_2^2-(x_1+x_2)$ $=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-(x_1+x_2)$ $=3^2-2\times (-1010)-3$ $=2022$ Bài 3: Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là x và y (m, điều kiện: x > 0, y > 0). Ta có chu vi của mảnh vườn là 32 m, do đó: \[ 2(x + y) = 32 \] \[ x + y = 16 \] Khi giảm chiều rộng đi 1 m và tăng chiều dài thêm 2 m thì diện tích mảnh vườn không thay đổi, ta có: \[ xy = (x - 1)(y + 2) \] Phát triển phương trình trên: \[ xy = xy + 2x - y - 2 \] \[ 0 = 2x - y - 2 \] \[ 2x - y = 2 \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ x + y = 16 \] \[ 2x - y = 2 \] Cộng hai phương trình này lại: \[ (x + y) + (2x - y) = 16 + 2 \] \[ 3x = 18 \] \[ x = 6 \] Thay \( x = 6 \) vào phương trình \( x + y = 16 \): \[ 6 + y = 16 \] \[ y = 10 \] Vậy chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là 6 m và 10 m. Bài 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh bốn điểm M, C, O, D cùng thuộc một đường tròn Để chứng minh bốn điểm M, C, O, D cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác MCOD là tứ giác nội tiếp. - Ta có MC và MD là hai tiếp tuyến từ M đến đường tròn (O, R), do đó \( \angle MCO = \angle MDO = 90^\circ \) (góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại tiếp điểm). - Xét tứ giác MCOD, ta có: \[ \angle MCO + \angle MDO = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \] - Do đó, tứ giác MCOD là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh \(OM \perp CD\) - Ta đã biết \( \angle MCO = \angle MDO = 90^\circ \). - Do đó, \( \angle COD = 180^\circ - (\angle MCO + \angle MDO) = 0^\circ \), tức là C, O, D thẳng hàng. - Vì C, O, D thẳng hàng và \( \angle MCO = \angle MDO = 90^\circ \), nên \( OM \perp CD \). c) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD - Đoạn thẳng OM cắt đường tròn tại I, và I nằm trên đường tròn (O, R). - Vì I nằm trên đường tròn và OM là đường kính, nên \( \angle MIO = 90^\circ \). - Do đó, I là điểm chính giữa của cung CD không chứa M, và là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD. d) Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất - Đường thẳng qua O và vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. - Để diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất, ta cần tối thiểu hóa chiều cao từ M đến đường thẳng PQ. - Vì PQ là đường thẳng qua O và vuông góc với OM, nên khi M nằm trên đường thẳng d sao cho OM là đường kính của đường tròn (O, R), thì chiều cao từ M đến PQ là nhỏ nhất. - Do đó, vị trí của M sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất là khi M nằm trên đường thẳng d sao cho OM là đường kính của đường tròn (O, R). Với các bước lập luận trên, chúng ta đã giải quyết được bài toán một cách chi tiết và rõ ràng. Bài 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba số dương \(a, b, c\): \[ (a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \geq (1 + 1 + 1)^2 = 9 \] Bước 2: Vì \(a + b + c = 1\), ta có: \[ 1 \cdot \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \geq 9 \] \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9 \] Bước 3: Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\). Theo bất đẳng thức trên, giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 9. Bước 4: Kiểm tra xem giá trị nhỏ nhất này có thể đạt được hay không. Để \(P = 9\), ta cần có: \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 9 \] Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c\). Vì \(a + b + c = 1\), ta có: \[ a = b = c = \frac{1}{3} \] Thay \(a = b = c = \frac{1}{3}\) vào biểu thức \(P\): \[ P = \frac{1}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3 + 3 + 3 = 9 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 9, đạt được khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\). Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 9, đạt được khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\).