giúp minh voi

Câu 6: Để tìm cực trị của hàm số \( y = x + \sqrt{2x - x^2} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( y = x + \sqrt{2x - x^2} \) có chứa căn thức, do đó cần đảm bảo biểu thức dưới dấu căn không âm: \[ 2x - x^2 \geq 0 \] Giải bất phương trình này: \[ x(2 - x) \geq 0 \] Điều này xảy ra khi \( 0 \leq x \leq 2 \). 2. Tính đạo hàm của hàm số: Ta có: \[ y = x + \sqrt{2x - x^2} \] Đặt \( u = 2x - x^2 \). Khi đó: \[ \sqrt{u} = \sqrt{2x - x^2} \] Đạo hàm \( y \) theo \( x \): \[ y' = 1 + \frac{d}{dx}(\sqrt{2x - x^2}) \] Sử dụng công thức đạo hàm của căn bậc hai: \[ \frac{d}{dx}(\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx} \] Với \( u = 2x - x^2 \), ta có: \[ \frac{du}{dx} = 2 - 2x \] Do đó: \[ \frac{d}{dx}(\sqrt{2x - x^2}) = \frac{1}{2\sqrt{2x - x^2}} \cdot (2 - 2x) \] Kết hợp lại: \[ y' = 1 + \frac{2 - 2x}{2\sqrt{2x - x^2}} \] Rút gọn: \[ y' = 1 + \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}} \] 3. Giải phương trình \( y' = 0 \): Đặt \( y' = 0 \): \[ 1 + \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}} = 0 \] Chuyển vế: \[ \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}} = -1 \] Nhân cả hai vế với \( \sqrt{2x - x^2} \): \[ 1 - x = -\sqrt{2x - x^2} \] Bình phương cả hai vế: \[ (1 - x)^2 = 2x - x^2 \] Khai triển và rút gọn: \[ 1 - 2x + x^2 = 2x - x^2 \] \[ 1 - 2x + x^2 - 2x + x^2 = 0 \] \[ 2x^2 - 4x + 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] Vậy: \[ x_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad x_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \] 4. Kiểm tra giá trị tại các điểm tới hạn và biên: - Tại \( x = 0 \): \[ y = 0 + \sqrt{2 \cdot 0 - 0^2} = 0 \] - Tại \( x = 2 \): \[ y = 2 + \sqrt{2 \cdot 2 - 2^2} = 2 \] - Tại \( x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ y = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2 \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} \] Tính toán chi tiết: \[ y = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2 + \sqrt{2} - \left(1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2}\right)} \] \[ y = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2 + \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2} - \frac{1}{2}} \] \[ y = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1}{2}} \] \[ y = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2} \] - Tại \( x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ y = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2 \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} \] Tính toán chi tiết: \[ y = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \left(1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2}\right)} \] \[ y = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} - \frac{1}{2}} \] \[ y = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1}{2}} \] \[ y = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \] 5. Kết luận: - Giá trị lớn nhất của hàm số là \( 1 + \sqrt{2} \), đạt được khi \( x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( 0 \), đạt được khi \( x = 0 \). Đáp số: Giá trị lớn nhất của hàm số là \( 1 + \sqrt{2} \), đạt được khi \( x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \); Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( 0 \), đạt được khi \( x = 0 \). Câu 7: Để tìm cực trị của hàm số \( y = \frac{4x^2 + 2x - 1}{2x^2 + x - 3} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm ĐKXĐ Hàm số \( y = \frac{4x^2 + 2x - 1}{2x^2 + x - 3} \) có mẫu số \( 2x^2 + x - 3 \). Ta cần tìm các giá trị của \( x \) làm cho mẫu số khác 0: \[ 2x^2 + x - 3 \neq 0 \] Giải phương trình \( 2x^2 + x - 3 = 0 \): \[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4} \] \[ x_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{3}{2} \] Vậy, \( 2x^2 + x - 3 \neq 0 \) khi \( x \neq 1 \) và \( x \neq -\frac{3}{2} \). Bước 2: Tính đạo hàm \( y' \) Sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y = \frac{u}{v} \implies y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: \[ u = 4x^2 + 2x - 1 \] \[ v = 2x^2 + x - 3 \] Tính \( u' \) và \( v' \): \[ u' = 8x + 2 \] \[ v' = 4x + 1 \] Do đó: \[ y' = \frac{(8x + 2)(2x^2 + x - 3) - (4x^2 + 2x - 1)(4x + 1)}{(2x^2 + x - 3)^2} \] Bước 3: Rút gọn \( y' \) \[ y' = \frac{(8x + 2)(2x^2 + x - 3) - (4x^2 + 2x - 1)(4x + 1)}{(2x^2 + x - 3)^2} \] Tính tử số: \[ (8x + 2)(2x^2 + x - 3) = 16x^3 + 8x^2 - 24x + 4x^2 + 2x - 6 = 16x^3 + 12x^2 - 22x - 6 \] \[ (4x^2 + 2x - 1)(4x + 1) = 16x^3 + 4x^2 + 8x^2 + 2x - 4x - 1 = 16x^3 + 12x^2 - 2x - 1 \] Tử số: \[ 16x^3 + 12x^2 - 22x - 6 - (16x^3 + 12x^2 - 2x - 1) = -20x - 5 \] Vậy: \[ y' = \frac{-20x - 5}{(2x^2 + x - 3)^2} \] Bước 4: Giải phương trình \( y' = 0 \) \[ \frac{-20x - 5}{(2x^2 + x - 3)^2} = 0 \] \[ -20x - 5 = 0 \] \[ x = -\frac{1}{4} \] Bước 5: Xác định tính chất của điểm \( x = -\frac{1}{4} \) Thay \( x = -\frac{1}{4} \) vào hàm số để tìm giá trị của \( y \): \[ y = \frac{4\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{4}\right) - 1}{2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right) - 3} \] \[ y = \frac{4 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{2} - 1}{2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} - 3} \] \[ y = \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 1}{\frac{1}{8} - \frac{1}{4} - 3} \] \[ y = \frac{-\frac{5}{4}}{-\frac{25}{8}} \] \[ y = \frac{-\frac{5}{4}}{-\frac{25}{8}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{25} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} \] Kết luận Giá trị lớn nhất của hàm số là \( \frac{2}{5} \), đạt được khi \( x = -\frac{1}{4} \).