giải cho mình voi

Câu 16: Để tìm các điểm cực trị của hàm số \( y = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1\right) = x^3 - 4x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm nghi ngờ là điểm cực trị: \[ x^3 - 4x = 0 \] \[ x(x^2 - 4) = 0 \] \[ x(x - 2)(x + 2) = 0 \] Từ đó, ta có các nghiệm: \[ x = 0, \quad x = 2, \quad x = -2 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số để kiểm tra tính chất của các điểm này: \[ y'' = \frac{d}{dx}(x^3 - 4x) = 3x^2 - 4 \] 4. Thay các giá trị \( x = 0, x = 2, x = -2 \) vào \( y'' \) để xác định loại điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \[ y''(0) = 3(0)^2 - 4 = -4 < 0 \] Do đó, tại \( x = 0 \), hàm số có một điểm cực đại. - Tại \( x = 2 \): \[ y''(2) = 3(2)^2 - 4 = 12 - 4 = 8 > 0 \] Do đó, tại \( x = 2 \), hàm số có một điểm cực tiểu. - Tại \( x = -2 \): \[ y''(-2) = 3(-2)^2 - 4 = 12 - 4 = 8 > 0 \] Do đó, tại \( x = -2 \), hàm số có một điểm cực tiểu. Vậy, hàm số \( y = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1 \) có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu. Đáp án đúng là: B. Một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu. Câu 17: Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( y = \frac{-2x+1}{x-3} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số \( y = \frac{-2x+1}{x-3} \) là một phân thức, do đó chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức để tìm đạo hàm của nó. Đặt \( u = -2x + 1 \) và \( v = x - 3 \). Khi đó: \[ y = \frac{u}{v} \] Đạo hàm của \( y \) theo \( x \) là: \[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Tính \( u' \) và \( v' \): \[ u' = -2 \] \[ v' = 1 \] Thay vào công thức đạo hàm: \[ y' = \frac{(-2)(x-3) - (-2x+1)(1)}{(x-3)^2} \] \[ y' = \frac{-2x + 6 + 2x - 1}{(x-3)^2} \] \[ y' = \frac{5}{(x-3)^2} \] 2. Xác định các điểm tới hạn: Các điểm tới hạn xảy ra khi đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. - Đạo hàm \( y' = \frac{5}{(x-3)^2} \) không bao giờ bằng 0 vì tử số luôn khác 0. - Đạo hàm không xác định khi mẫu số bằng 0: \[ (x-3)^2 = 0 \implies x = 3 \] Vậy, điểm tới hạn duy nhất là \( x = 3 \). 3. Kiểm tra tính chất của điểm tới hạn: Để xác định xem điểm tới hạn \( x = 3 \) có phải là điểm cực trị hay không, chúng ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm trước và sau điểm này. - Khi \( x < 3 \), \( (x-3)^2 > 0 \) nên \( y' = \frac{5}{(x-3)^2} > 0 \). - Khi \( x > 3 \), \( (x-3)^2 > 0 \) nên \( y' = \frac{5}{(x-3)^2} > 0 \). Do đó, đạo hàm không đổi dấu tại \( x = 3 \), nghĩa là \( x = 3 \) không phải là điểm cực trị. 4. Kết luận: Hàm số \( y = \frac{-2x+1}{x-3} \) không có điểm cực trị. Đáp án đúng là: B 0. Câu 18: Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( y = \frac{1}{x} \), chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số \( y = \frac{1}{x} \) có đạo hàm: \[ y' = -\frac{1}{x^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): Ta có: \[ -\frac{1}{x^2} = 0 \] Phương trình này không có nghiệm vì \( -\frac{1}{x^2} \) luôn khác 0 với mọi \( x \neq 0 \). 3. Xác định khoảng đơn điệu của hàm số: - Khi \( x > 0 \), \( y' = -\frac{1}{x^2} < 0 \), hàm số giảm. - Khi \( x < 0 \), \( y' = -\frac{1}{x^2} < 0 \), hàm số giảm. 4. Kết luận về điểm cực trị: Vì đạo hàm \( y' \) không đổi dấu tại bất kỳ điểm nào trong miền xác định của hàm số, nên hàm số \( y = \frac{1}{x} \) không có điểm cực trị. Do đó, số điểm cực trị của hàm số \( y = \frac{1}{x} \) là 0. Đáp án đúng là: A. 0. Câu 19: Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( y = x^4 - 3x^2 + 5 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 3x^2 + 5) = 4x^3 - 6x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các giá trị của \( x \) làm cho đạo hàm bằng 0: \[ 4x^3 - 6x = 0 \] Ta có thể nhân chung \( 2x \): \[ 2x(2x^2 - 3) = 0 \] Từ đây suy ra: \[ 2x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x^2 - 3 = 0 \] Giải tiếp: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \] 3. Xác định các điểm cực trị bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm hoặc sử dụng đạo hàm bậc hai: - Đạo hàm bậc hai: \[ y'' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 6x) = 12x^2 - 6 \] - Kiểm tra dấu của \( y'' \) tại các điểm \( x = 0 \), \( x = \sqrt{\frac{3}{2}} \), và \( x = -\sqrt{\frac{3}{2}} \): + Tại \( x = 0 \): \[ y''(0) = 12(0)^2 - 6 = -6 < 0 \] Suy ra \( x = 0 \) là điểm cực đại. + Tại \( x = \sqrt{\frac{3}{2}} \): \[ y''\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right) = 12\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 - 6 = 12 \cdot \frac{3}{2} - 6 = 18 - 6 = 12 > 0 \] Suy ra \( x = \sqrt{\frac{3}{2}} \) là điểm cực tiểu. + Tại \( x = -\sqrt{\frac{3}{2}} \): \[ y''\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}\right) = 12\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 - 6 = 12 \cdot \frac{3}{2} - 6 = 18 - 6 = 12 > 0 \] Suy ra \( x = -\sqrt{\frac{3}{2}} \) là điểm cực tiểu. 4. Kết luận: Hàm số \( y = x^4 - 3x^2 + 5 \) có 3 điểm cực trị: 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu. Do đó, đáp án đúng là: D. 3. Câu 20: Để tìm điểm cực đại của hàm số \( y = f(x) \) dựa trên đồ thị, ta cần xác định vị trí mà hàm số đạt giá trị lớn nhất trong một khoảng lân cận. Quan sát đồ thị: 1. Đồ thị có một điểm cao nhất tại \( x = -1 \). 2. Tại điểm này, giá trị của hàm số là \( y = 1 \). Vậy, điểm cực đại của hàm số là \( (-1, 1) \). Do đó, đáp án đúng là \( A.~(-1;1) \). Câu 21: Để tìm số cực trị của hàm số \( f(x) \), chúng ta cần xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Đạo hàm của hàm số đã cho là: \[ f'(x) = (x - 1)(x - x^2)(x + 4) \] Trước tiên, ta sẽ tìm các nghiệm của \( f'(x) = 0 \): \[ (x - 1)(x - x^2)(x + 4) = 0 \] Các nghiệm của phương trình này là: \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \] \[ x - x^2 = 0 \implies x(1 - x) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 1 \] \[ x + 4 = 0 \implies x = -4 \] Như vậy, các nghiệm của \( f'(x) = 0 \) là: \[ x = -4, \quad x = 0, \quad x = 1 \] Bây giờ, ta sẽ xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng xác định bởi các nghiệm này: \( (-\infty, -4) \), \( (-4, 0) \), \( (0, 1) \), và \( (1, \infty) \). 1. Trên khoảng \( (-\infty, -4) \): Chọn \( x = -5 \): \[ f'(-5) = (-5 - 1)((-5) - (-5)^2)((-5) + 4) = (-6)(-5 - 25)(-1) = (-6)(-30)(-1) = -180 \] \( f'(x) < 0 \) 2. Trên khoảng \( (-4, 0) \): Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = (-2 - 1)((-2) - (-2)^2)((-2) + 4) = (-3)(-2 - 4)(2) = (-3)(-6)(2) = 36 \] \( f'(x) > 0 \) 3. Trên khoảng \( (0, 1) \): Chọn \( x = 0.5 \): \[ f'(0.5) = (0.5 - 1)(0.5 - (0.5)^2)(0.5 + 4) = (-0.5)(0.5 - 0.25)(4.5) = (-0.5)(0.25)(4.5) = -0.5625 \] \( f'(x) < 0 \) 4. Trên khoảng \( (1, \infty) \): Chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = (2 - 1)(2 - 2^2)(2 + 4) = (1)(2 - 4)(6) = (1)(-2)(6) = -12 \] \( f'(x) < 0 \) Từ đó, ta thấy rằng đạo hàm \( f'(x) \) đổi dấu tại \( x = -4 \) và \( x = 0 \), nhưng không đổi dấu tại \( x = 1 \). Do đó, hàm số \( f(x) \) có hai điểm cực trị: một điểm cực đại tại \( x = -4 \) và một điểm cực tiểu tại \( x = 0 \). Vậy, hàm số \( f(x) \) có 2 cực trị. Đáp án: D. 2 Câu 20: Để tính tích phân của hàm số \( u = f(x) \), chúng ta cần biết cụ thể dạng của hàm \( f(x) \). Tuy nhiên, vì đề bài không cung cấp thông tin chi tiết về \( f(x) \), tôi sẽ hướng dẫn bạn cách tính tích phân tổng quát của một hàm số \( f(x) \). Giả sử \( F(x) \) là một nguyên hàm của \( f(x) \), tức là \( F'(x) = f(x) \). Khi đó, tích phân bất định của \( f(x) \) là: \[ \int f(x) \, dx = F(x) + C \] trong đó \( C \) là hằng số tích phân. Nếu bạn muốn tính tích phân xác định từ \( a \) đến \( b \) của \( f(x) \), công thức sẽ là: \[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] Vui lòng cung cấp thêm thông tin về hàm \( f(x) \) để tôi có thể giúp bạn tính toán cụ thể hơn.