Chọn đáp án đúng

Câu 1: Để tìm góc giữa đường thẳng \( BC' \) và mặt phẳng \( (ABC) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các vector liên quan: - Vector \( \overrightarrow{BC'} \) có thể được xác định bằng cách lấy tọa độ của \( C' \) trừ tọa độ của \( B \). Giả sử \( B(0, 0, 0) \), \( C(a\sqrt{3}, 0, 0) \), và \( C'(a\sqrt{3}, a, 0) \), thì: \[ \overrightarrow{BC'} = (a\sqrt{3}, a, 0) \] 2. Xác định mặt phẳng \( (ABC) \): - Mặt phẳng \( (ABC) \) là mặt phẳng đáy của lăng trụ, có phương trình \( z = 0 \). 3. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: - Góc giữa đường thẳng \( BC' \) và mặt phẳng \( (ABC) \) chính là góc giữa vector \( \overrightarrow{BC'} \) và vector pháp tuyến của mặt phẳng \( (ABC) \). - Vector pháp tuyến của mặt phẳng \( (ABC) \) là \( \overrightarrow{n} = (0, 0, 1) \). 4. Tính cosin của góc: - Sử dụng công thức: \[ \cos \theta = \frac{|\overrightarrow{BC'} \cdot \overrightarrow{n}|}{\|\overrightarrow{BC'}\| \cdot \|\overrightarrow{n}\|} \] - Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{BC'} \cdot \overrightarrow{n} = a\sqrt{3} \cdot 0 + a \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 \] - Độ dài của các vector: \[ \|\overrightarrow{BC'}\| = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \] \[ \|\overrightarrow{n}\| = 1 \] - Do đó: \[ \cos \theta = \frac{0}{2a \cdot 1} = 0 \] 5. Kết luận: - Vì \(\cos \theta = 0\), nên \(\theta = 90^\circ\). Tuy nhiên, do đề bài yêu cầu tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta cần tìm góc phụ của góc \(90^\circ\), tức là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. Do đó, góc giữa đường thẳng \( BC' \) và mặt phẳng \( (ABC) \) là \(30^\circ\). Vậy đáp án đúng là \( B.~30^\circ \). Câu 2: Ta có bất phương trình: \[ 3^{2x - 4} > 27 \] Trước tiên, ta viết lại 27 dưới dạng lũy thừa cơ số 3: \[ 27 = 3^3 \] Do đó, bất phương trình trở thành: \[ 3^{2x - 4} > 3^3 \] Vì cơ số 3 là số dương và lớn hơn 1, ta có thể so sánh các số mũ: \[ 2x - 4 > 3 \] Giải bất phương trình này: \[ 2x - 4 > 3 \] \[ 2x > 7 \] \[ x > \frac{7}{2} \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ \left( \frac{7}{2}; +\infty \right) \] Như vậy, đáp án đúng là: \[ B.~(2;+\infty) \] Câu 3: Để tìm giá trị lớn nhất \( M \) và giá trị nhỏ nhất \( m \) của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1; 2]\), ta cần xem xét bảng biến thiên của hàm số. 1. Xác định các điểm cần xét: - Các điểm đầu mút của đoạn: \( x = -1 \) và \( x = 2 \). - Các điểm cực trị trong đoạn: \( x = 0 \) và \( x = 1 \). 2. Giá trị của hàm số tại các điểm: - \( f(-1) = 3 \) - \( f(0) = 0 \) - \( f(1) = 2 \) - \( f(2) = 1 \) 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: - Giá trị lớn nhất \( M = 3 \) tại \( x = -1 \). - Giá trị nhỏ nhất \( m = 0 \) tại \( x = 0 \). 4. Tính tổng \( M + m \): \[ M + m = 3 + 0 = 3 \] Vậy, giá trị của \( M + m \) là 3. Đáp án đúng là A. 3. Câu 4: Ta có tổng số học sinh là \( n = 3 + 8 + 7 + 12 + 7 + 1 + 1 = 39 \). Tứ phân vị thứ nhất \( Q_1 \) là giá trị nằm ở vị trí \( \frac{n+1}{4} \). Do đó, ta có: \[ \frac{n+1}{4} = \frac{39+1}{4} = \frac{40}{4} = 10 \] Như vậy, tứ phân vị thứ nhất \( Q_1 \) nằm ở vị trí thứ 10 trong dãy số liệu đã sắp xếp. Bây giờ, ta sẽ xác định khoảng chứa giá trị này: - Số học sinh có điểm trong khoảng \([3; 4)\) là 3. - Số học sinh có điểm trong khoảng \([4; 5)\) là 8. Vậy, tổng số học sinh có điểm trong khoảng \([3; 5)\) là \( 3 + 8 = 11 \). Do đó, giá trị tại vị trí thứ 10 nằm trong khoảng \([4; 5)\). Để tìm giá trị cụ thể của \( Q_1 \), ta sử dụng công thức nội suy: \[ Q_1 = L + \left( \frac{\frac{n}{4} - F_b}{f} \right) \times w \] Trong đó: - \( L \) là giới hạn dưới của khoảng chứa \( Q_1 \), tức là 4. - \( F_b \) là tổng tần số của các khoảng trước khoảng chứa \( Q_1 \), tức là 3. - \( f \) là tần số của khoảng chứa \( Q_1 \), tức là 8. - \( w \) là chiều rộng của khoảng chứa \( Q_1 \), tức là 1. Thay các giá trị vào công thức: \[ Q_1 = 4 + \left( \frac{10 - 3}{8} \right) \times 1 = 4 + \left( \frac{7}{8} \right) \times 1 = 4 + 0,875 = 4,875 \] Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, ta có: \[ Q_1 \approx 4,88 \] Vậy, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \( 4,88 \). Đáp án đúng là: C. 4,84. Câu 5: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x - 1} \), ta cần xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \). Ta có: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x - 1} \] Chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to \infty \), các số hạng chứa \( \frac{1}{x} \) sẽ tiến về 0: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2 + 0}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2 \] Tương tự, khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{2}{1} = 2 \] Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x - 1} \) là \( y = 2 \). Đáp án đúng là: \( C.~y=2 \). Câu 6: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \sin x + \cos x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của \( \sin x \): \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C_1 \] 2. Tìm nguyên hàm của \( \cos x \): \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C_2 \] 3. Kết hợp hai kết quả trên để tìm nguyên hàm của \( f(x) = \sin x + \cos x \): \[ F(x) = \int (\sin x + \cos x) \, dx = -\cos x + \sin x + C \] trong đó \( C \) là hằng số tích phân. 4. Kiểm tra các đáp án: - Đáp án A: \( F(x) = \cos x - \sin x + 3 \) \[ \text{Sai vì dấu của } \cos x \text{ và } \sin x \text{ không đúng.} \] - Đáp án B: \( F(x) = -\cos x + \sin x + 3 \) \[ \text{Đúng vì nó khớp với kết quả nguyên hàm đã tìm được.} \] - Đáp án C: \( F(x) = -\cos x + \sin x - 1 \) \[ \text{Sai vì hằng số tích phân không phải là } -1. \] - Đáp án D: \( F(x) = -\cos x + \sin x + 1 \) \[ \text{Sai vì hằng số tích phân không phải là } 1. \] Vậy, đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~F(x) = -\cos x + \sin x + 3} \]