Trả lời câu hỏi TRUNG TÂM GIA SƯ ONLINE- OFFLINE THẦY NAM -0966.616.000,$A.~[0;0,2).$ $B.~[2,0;2,2).$ $C.~[3,3;3,5).$ $D.~[3,5;3,7).$,âu 9: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC,CD và G là,Câu 9:,,trọng tâm tam giác BCD .,Phát biểu nào sau đây sai?,$A.~\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}.$,$B.~\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}.$,$C.~\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{AG}.$,$D.~\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AN}.$,Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho $A(0;4;1)$ và $B(-2;0;3).$ Mặt cầu đường kính AB có phương trình là,$A.~(x-1)^2+(y+2)^2+(z+2)^2=24.$ $B.~(x+1)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=24.$,$C.~(x-1)^2+(y+2)^2+(z+2)^2=6.$ $D.~(x+1)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=6.$,Câu 11: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm $A(1;1;0)$ và vuông góc với đường thẳng,$\frac{x-1}2=\frac y3=\frac{z+2}{-5}$ có phương trình là,$A.~x-2z+1=0.$ $B.~2x+3y-5z+5=0.$,$C.~2x+3y-5z-5=0.$ $D.~x-2z-1=0.$,Câu 12: Trong không gian Oxyz , góc giữa hai đường thẳng $d_i:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\y=2+t\z=-1+t\end{array} ight.$ và $d_2:\left\{\begin{array}{l}x=3-t\y=1-2t.\z=5+t\end{array} ight.$,$A.~60^0$ B. 120'. C. 30'. D. 90'.,PHẦN 2. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI,Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 16. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu hỏi, thí sinh chọn đúng hoặc chọn sai.,Câu 13: Cho hàm số $f(x)=x\sqrt{9-x^2}$,a) Tập xác định của hàm số đã cho là $D=(-3;3).$,b) Hàm số đã cho có đạo hàm $f^\prime(x)=\frac{9-2x^2}{\sqrt{9-x^2}}(-3

Question

Trả lời câu hỏi TRUNG TÂM GIA SƯ ONLINE- OFFLINE THẦY NAM -0966.616.000,$A.~[0;0,2).$ $B.~[2,0;2,2).$ $C.~[3,3;3,5).$ $D.~[3,5;3,7).$,âu 9: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC,CD và G là,Câu 9:,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/e35b9c8ac27b43e28f313401fb7285ee.jpg />,trọng tâm tam giác BCD .,Phát biểu nào sau đây sai?,$A.~\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}.$,$B.~\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}.$,$C.~\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{AG}.$,$D.~\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AN}.$,Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho $A(0;4;1)$ và $B(-2;0;3).$ Mặt cầu đường kính AB có phương trình là,$A.~(x-1)^2+(y+2)^2+(z+2)^2=24.$ $B.~(x+1)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=24.$,$C.~(x-1)^2+(y+2)^2+(z+2)^2=6.$ $D.~(x+1)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=6.$,Câu 11: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm $A(1;1;0)$ và vuông góc với đường thẳng,$\frac{x-1}2=\frac y3=\frac{z+2}{-5}$ có phương trình là,$A.~x-2z+1=0.$ $B.~2x+3y-5z+5=0.$,$C.~2x+3y-5z-5=0.$ $D.~x-2z-1=0.$,Câu 12: Trong không gian Oxyz , góc giữa hai đường thẳng $d_i:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\y=2+t\z=-1+t\end{array}ight.$ và $d_2:\left\{\begin{array}{l}x=3-t\y=1-2t.\z=5+t\end{array}ight.$,$A.~60^0$ B. 120&#x27;. C. 30&#x27;. D. 90&#x27;.,PHẦN 2. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI,Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 16. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu hỏi, thí sinh chọn đúng hoặc chọn sai.,Câu 13: Cho hàm số $f(x)=x\sqrt{9-x^2}$,a) Tập xác định của hàm số đã cho là $D=(-3;3).$,b) Hàm số đã cho có đạo hàm $f^\prime(x)=\frac{9-2x^2}{\sqrt{9-x^2}}(-3<x<3).$,c) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là $\frac92.$,d) Phương trình $2f(x)-1=0$ có ba nghiệm phân biệt.,Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x).$ trục Ox , trục,Câu 14: Cho hàm số $y=f(x)=3\sin x.$ trục Ox   tụục Oy,Oy và đường thẳng $x=\pi.$ Hình phẳng (H,) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x).$,và đường thẳng $x=a$ với $a\in(0;\pi).$,$a)~[f(x)dx=3\cos x+C$,b) Diện tích của hình phẳng (H) bằng 6.,TRUNG TÂM GIA SƯ ONLINE- OFFLINE THẦY NAM -0966.616.000

Accepted Answer

Câu 9:
Để giải quyết bài toán này, ta cần xem xét các phát biểu liên quan đến trọng tâm tam giác và các tính chất của vectơ.

1. Phát biểu A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$

Trọng tâm $G$ của tam giác $BCD$ có tính chất:
   $$
   \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{CG} + \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{0}
   $$
   Suy ra:
   $$
   \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}
   $$
   Phát biểu A là đúng.

2. Phát biểu B: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

$M$ là trung điểm của $BC$, do đó:
   $$
   \overrightarrow{AM} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}
   $$
   Suy ra:
   $$
   \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}
   $$
   Phát biểu B là đúng.

3. Phát biểu C: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{AG}$

$N$ là trung điểm của $CD$, do đó:
   $$
   \overrightarrow{AN} = \frac{\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{2}
   $$
   Phát biểu này không liên quan đến trọng tâm $G$ của tam giác $BCD$, do đó không thể có:
   $$
   \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AN} = 3\overrightarrow{AG}
   $$
   Phát biểu C là sai.

4. Phát biểu D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AN}$

$N$ là trung điểm của $CD$, do đó:
   $$
   \overrightarrow{AN} = \frac{\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{2}
   $$
   Phát biểu D là đúng.

Kết luận: Phát biểu sai là C.

Câu 10:
Để tìm phương trình của mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng $AB$, ta cần xác định tâm và bán kính của mặt cầu.

1. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$:

Trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ:
   $$
   I\left(\frac{0 + (-2)}{2}; \frac{4 + 0}{2}; \frac{1 + 3}{2}\right) = (-1, 2, 2)
   $$

Vậy, $I(-1, 2, 2)$ là tâm của mặt cầu.

2. Tính bán kính của mặt cầu:

Bán kính $R$ của mặt cầu là nửa độ dài của đoạn thẳng $AB$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ được tính bằng công thức:
   $$
   AB = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (4 - 0)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24}
   $$

Do đó, bán kính $R$ là:
   $$
   R = \frac{\sqrt{24}}{2} = \sqrt{6}
   $$

3. Viết phương trình mặt cầu:

Phương trình mặt cầu có tâm $I(-1, 2, 2)$ và bán kính $R = \sqrt{6}$ là:
   $$
   (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 6
   $$

Do đó, phương trình mặt cầu là phương trình $D$.

Vậy, đáp án đúng là $D.~(x+1)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=6.$

Câu 11:
Để tìm phương trình của mặt phẳng đi qua điểm $ A(1;1;0) $ và vuông góc với đường thẳng $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+2}{-5}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Đường thẳng có dạng $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+2}{-5}$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (2, 3, -5)$.

2. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\vec{n} = (2, 3, -5)$.

3. Phương trình mặt phẳng:

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:
   $$
   ax + by + cz + d = 0
   $$
   với $(a, b, c)$ là vectơ pháp tuyến. Ở đây, $(a, b, c) = (2, 3, -5)$, do đó phương trình mặt phẳng là:
   $$
   2x + 3y - 5z + d = 0
   $$

4. Tìm $d$ bằng cách thay tọa độ điểm $A(1;1;0)$ vào phương trình mặt phẳng:

Thay $x = 1$, $y = 1$, $z = 0$ vào phương trình:
   $$
   2(1) + 3(1) - 5(0) + d = 0
   $$
   $$
   2 + 3 + d = 0
   $$
   $$
   d = -5
   $$

5. Phương trình mặt phẳng:

Thay $d = -5$ vào phương trình mặt phẳng, ta được:
   $$
   2x + 3y - 5z - 5 = 0
   $$

Vậy phương trình của mặt phẳng là $2x + 3y - 5z - 5 = 0$. Đáp án đúng là $C$.

Câu 12:
Để tìm góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ trong không gian, ta cần tìm góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của các đường thẳng

Đường thẳng $d_1$ có phương trình tham số:
$$
\begin{cases}
x = 1 + 2t \
y = 2 + t \
z = -1 + t
\end{cases}
$$
Vectơ chỉ phương của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1} = (2, 1, 1)$.

Đường thẳng $d_2$ có phương trình tham số:
$$
\begin{cases}
x = 3 - t \
y = 1 - 2t \
z = 5 + t
\end{cases}
$$
Vectơ chỉ phương của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2} = (-1, -2, 1)$.

Bước 2: Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương

Tích vô hướng của $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$ là:
$$
\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 1 = -2 - 2 + 1 = -3
$$

Bước 3: Tính độ dài của các vectơ chỉ phương

Độ dài của $\overrightarrow{u_1}$ là:
$$
\|\overrightarrow{u_1}\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}
$$

Độ dài của $\overrightarrow{u_2}$ là:
$$
\|\overrightarrow{u_2}\| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}
$$

Bước 4: Tính góc giữa hai vectơ

Góc $\theta$ giữa hai vectơ được xác định bởi công thức:
$$
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2}}{\|\overrightarrow{u_1}\| \cdot \|\overrightarrow{u_2}\|}
$$

Thay các giá trị đã tính vào:
$$
\cos \theta = \frac{-3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}
$$

Góc $\theta$ có $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ tương ứng với góc $120^\circ$.

Vậy, góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là $120^\circ$.

Đáp án: B. 120^\circ

Câu 13:
Để giải quyết các yêu cầu của bài toán, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần a), b), c), d) và hình phẳng (H).

a) Tập xác định của hàm số đã cho là $ D = (-3; 3) $

Hàm số $ f(x) = x \sqrt{9 - x^2} $ có chứa căn thức $ \sqrt{9 - x^2} $. Điều kiện để căn thức có nghĩa là:
$$ 9 - x^2 \geq 0 $$
$$ x^2 \leq 9 $$
$$ -3 \leq x \leq 3 $$

Do đó, tập xác định của hàm số là:
$$ D = [-3, 3] $$

Tuy nhiên, đề bài cho rằng tập xác định là $ D = (-3; 3) $. Đây là sai vì khoảng mở không bao gồm các điểm biên $-3$ và $3$, trong khi tại các điểm này hàm số vẫn xác định.

b) Hàm số đã cho có đạo hàm $ f'(x) = \frac{9 - 2x^2}{\sqrt{9 - x^2}} $ ($ -3 < x < 3 $)

Ta tính đạo hàm của $ f(x) = x \sqrt{9 - x^2} $ bằng quy tắc nhân:
$$ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x \sqrt{9 - x^2} \right) $$
$$ f'(x) = \sqrt{9 - x^2} + x \cdot \frac{d}{dx} \left( \sqrt{9 - x^2} \right) $$

Tính đạo hàm của $ \sqrt{9 - x^2} $:
$$ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{9 - x^2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{9 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{9 - x^2}} $$

Thay vào công thức đạo hàm:
$$ f'(x) = \sqrt{9 - x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{9 - x^2}} $$
$$ f'(x) = \sqrt{9 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}} $$
$$ f'(x) = \frac{(9 - x^2) - x^2}{\sqrt{9 - x^2}} $$
$$ f'(x) = \frac{9 - 2x^2}{\sqrt{9 - x^2}} $$

Do đó, đạo hàm của hàm số là:
$$ f'(x) = \frac{9 - 2x^2}{\sqrt{9 - x^2}} \quad \text{với} \quad -3 < x < 3 $$

c) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là $ \frac{9}{2} $

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số, ta xét đạo hàm $ f'(x) $ và tìm các điểm cực trị:
$$ f'(x) = 0 $$
$$ \frac{9 - 2x^2}{\sqrt{9 - x^2}} = 0 $$
$$ 9 - 2x^2 = 0 $$
$$ 2x^2 = 9 $$
$$ x^2 = \frac{9}{2} $$
$$ x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} $$

Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm này:
$$ f\left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right) = \frac{3}{\sqrt{2}} \sqrt{9 - \left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right)^2} $$
$$ = \frac{3}{\sqrt{2}} \sqrt{9 - \frac{9}{2}} $$
$$ = \frac{3}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{9}{2}} $$
$$ = \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}} $$
$$ = \frac{9}{2} $$

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số là:
$$ \frac{9}{2} $$

d) Phương trình $ 2f(x) - 1 = 0 $ có ba nghiệm phân biệt

Giải phương trình:
$$ 2f(x) - 1 = 0 $$
$$ 2x \sqrt{9 - x^2} - 1 = 0 $$
$$ 2x \sqrt{9 - x^2} = 1 $$
$$ x \sqrt{9 - x^2} = \frac{1}{2} $$

Bình phương hai vế:
$$ x^2 (9 - x^2) = \frac{1}{4} $$
$$ 9x^2 - x^4 = \frac{1}{4} $$
$$ 4x^4 - 36x^2 + 1 = 0 $$

Đặt $ t = x^2 $:
$$ 4t^2 - 36t + 1 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ t = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 16}}{8} $$
$$ t = \frac{36 \pm \sqrt{1280}}{8} $$
$$ t = \frac{36 \pm 16\sqrt{5}}{8} $$
$$ t = \frac{9 \pm 4\sqrt{5}}{2} $$

Do đó, $ x^2 = \frac{9 + 4\sqrt{5}}{2} $ hoặc $ x^2 = \frac{9 - 4\sqrt{5}}{2} $.

Các nghiệm $ x $ là:
$$ x = \pm \sqrt{\frac{9 + 4\sqrt{5}}{2}}, \quad x = \pm \sqrt{\frac{9 - 4\sqrt{5}}{2}} $$

Như vậy, phương trình có ba nghiệm phân biệt.

Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = f(x) $, trục Ox, trục Oy

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = f(x) $, trục Ox, và trục Oy từ $ x = 0 $ đến $ x = 3 $ là:
$$ S = \int_{0}^{3} x \sqrt{9 - x^2} \, dx $$

Đặt $ u = 9 - x^2 $, $ du = -2x \, dx $:
$$ dx = \frac{du}{-2x} $$

Khi $ x = 0 $, $ u = 9 $; khi $ x = 3 $, $ u = 0 $.

Do đó:
$$ S = \int_{9}^{0} \sqrt{u} \cdot \frac{du}{-2} $$
$$ S = \frac{1}{2} \int_{0}^{9} \sqrt{u} \, du $$
$$ S = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{0}^{9} $$
$$ S = \frac{1}{3} \left[ 9^{3/2} - 0 \right] $$
$$ S = \frac{1}{3} \cdot 27 $$
$$ S = 9 $$

Do đó, diện tích hình phẳng (H) là:
$$ 9 $$

Câu 14:
Để tính diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = f(x) = 3\sin x $, trục Ox, và đường thẳng $ x = a $ với $ a \in (0; \pi) $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định giới hạn tích phân:
   - Giới hạn dưới là $ x = 0 $ (vì $ a \in (0; \pi) $).
   - Giới hạn trên là $ x = a $.

2. Viết biểu thức tích phân để tính diện tích:
   Diện tích $ S $ của hình phẳng (H) được tính bằng công thức:
   $$
   S = \int_{0}^{a} |3\sin x| \, dx
   $$
   Vì $ 3\sin x \geq 0 $ trong khoảng $ [0, \pi] $, nên $ |3\sin x| = 3\sin x $.

3. Tính tích phân:
   $$
   S = \int_{0}^{a} 3\sin x \, dx
   $$
   Ta biết rằng:
   $$
   \int 3\sin x \, dx = -3\cos x + C
   $$
   Do đó:
   $$
   S = \left[ -3\cos x \right]_{0}^{a}
   $$

4. Thay giới hạn vào tích phân:
   $$
   S = \left( -3\cos a \right) - \left( -3\cos 0 \right)
   $$
   $$
   S = -3\cos a + 3\cos 0
   $$
   $$
   S = -3\cos a + 3 \cdot 1
   $$
   $$
   S = -3\cos a + 3
   $$

5. Biểu diễn diện tích theo $ a $:
   $$
   S = 3 - 3\cos a
   $$

6. Kiểm tra điều kiện diện tích bằng 6:
   Theo đề bài, diện tích của hình phẳng (H) bằng 6:
   $$
   3 - 3\cos a = 6
   $$
   Giải phương trình này:
   $$
   -3\cos a = 3
   $$
   $$
   \cos a = -1
   $$
   $$
   a = \pi
   $$

Tuy nhiên, vì $ a \in (0; \pi) $, nên $ a = \pi $ không thỏa mãn điều kiện này. Do đó, không tồn tại giá trị $ a $ trong khoảng $ (0; \pi) $ sao cho diện tích của hình phẳng (H) bằng 6.

Kết luận:
Diện tích của hình phẳng (H) là:
$$
S = 3 - 3\cos a
$$
với $ a \in (0; \pi) $.