Giải phương trình. 1) Giải phương trình,$\sqrt2\sin(2x-\frac\pi4)=\sin x+\cos x-1$

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải phương trình $\sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \sin x + \cos x - 1$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đơn giản hóa vế trái của phương trình.
Ta biết rằng:
$$
\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \sin 2x \cos \frac{\pi}{4} - \cos 2x \sin \frac{\pi}{4}
$$
và
$$
\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
$$
Do đó:
$$
\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \sin 2x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos 2x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin 2x - \cos 2x).
$$
Nhân cả hai vế với $\sqrt{2}$:
$$
\sqrt{2} \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin 2x - \cos 2x) = \sin 2x - \cos 2x.
$$

Bước 2: Thay vào phương trình ban đầu.
Phương trình trở thành:
$$
\sin 2x - \cos 2x = \sin x + \cos x - 1.
$$

Bước 3: Sử dụng công thức $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ và $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.
Thay vào phương trình:
$$
2 \sin x \cos x - (\cos^2 x - \sin^2 x) = \sin x + \cos x - 1.
$$
Rút gọn:
$$
2 \sin x \cos x - \cos^2 x + \sin^2 x = \sin x + \cos x - 1.
$$

Bước 4: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế.
$$
2 \sin x \cos x - \cos^2 x + \sin^2 x - \sin x - \cos x + 1 = 0.
$$

Bước 5: Nhóm các hạng tử để dễ dàng giải.
$$
(\sin^2 x + 2 \sin x \cos x - \cos^2 x) - (\sin x + \cos x) + 1 = 0.
$$
Ta có thể viết lại:
$$
(\sin x + \cos x)^2 - (\sin x + \cos x) + 1 = 0.
$$

Bước 6: Đặt $t = \sin x + \cos x$.
Phương trình trở thành:
$$
t^2 - t + 1 = 0.
$$

Bước 7: Giải phương trình bậc hai.
$$
t^2 - t + 1 = 0.
$$
Discriminant $\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$, nên phương trình này vô nghiệm.

Bước 8: Kết luận.
Vì phương trình $t^2 - t + 1 = 0$ vô nghiệm, nên phương trình ban đầu cũng vô nghiệm.

Đáp số: Phương trình vô nghiệm.