Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng. 2) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên nửa đường thẳng Oa,vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, ta lấy điểm S sao cho góc $\widehat{SCB}=60^0.$ .íTính khoảng cách giữa hai,đường thẳng BC và SD .

Question

Timi · Accepted Answer

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $ BC $ và $ SD $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định vị trí các điểm trong không gian
- Giả sử hình vuông $ ABCD $ nằm trong mặt phẳng $ Oxy $ với các đỉnh:
  - $ A(0, 0, 0) $
  - $ B(a, 0, 0) $
  - $ C(a, a, 0) $
  - $ D(0, a, 0) $
- Giao điểm của hai đường chéo $ O $ là trung điểm của $ AC $ và $ BD $, do đó:
  - $ O\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) $

Bước 2: Xác định vị trí điểm $ S $
- Điểm $ S $ nằm trên nửa đường thẳng $ Oa $ vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, tức là trên trục $ Oz $.
- Giả sử $ S\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, z\right) $.

Bước 3: Sử dụng điều kiện góc
- Theo đề bài, góc $ \widehat{SCB} = 60^\circ $.
- Vector $ \overrightarrow{SC} = \left(a - \frac{a}{2}, a - \frac{a}{2}, -z\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -z\right) $.
- Vector $ \overrightarrow{SB} = \left(a - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a}{2}, -z\right) = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -z\right) $.

Bước 4: Tính tích vô hướng và độ dài các vector
- Tích vô hướng $ \overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{SB} = \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) + (-z) \cdot (-z) = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{4} + z^2 = z^2 $.
- Độ dài $ |\overrightarrow{SC}| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + z^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} + z^2} $.
- Độ dài $ |\overrightarrow{SB}| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + z^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} + z^2} $.

Bước 5: Sử dụng công thức cos góc
- Theo công thức cos góc giữa hai vector:
  $$
  \cos 60^\circ = \frac{z^2}{\sqrt{\frac{a^2}{2} + z^2} \cdot \sqrt{\frac{a^2}{2} + z^2}} = \frac{z^2}{\frac{a^2}{2} + z^2}
  $$
- Do $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $, ta có:
  $$
  \frac{z^2}{\frac{a^2}{2} + z^2} = \frac{1}{2}
  $$
- Giải phương trình:
  $$
  2z^2 = a^2 + 2z^2 \Rightarrow a^2 = 2z^2 \Rightarrow z = \frac{a}{\sqrt{2}}
  $$

Bước 6: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $ BC $ và $ SD $
- Đường thẳng $ BC $ có phương trình: $ x = a, y = t, z = 0 $ với $ 0 \leq t \leq a $.
- Đường thẳng $ SD $ có phương trình: $ x = \frac{a}{2} + \frac{a}{2}s, y = \frac{a}{2} - \frac{a}{2}s, z = \frac{a}{\sqrt{2}}s $.
- Vector chỉ phương của $ BC $ là $ \overrightarrow{u} = (0, 1, 0) $.
- Vector chỉ phương của $ SD $ là $ \overrightarrow{v} = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, \frac{a}{\sqrt{2}}\right) $.
- Vector nối từ $ B $ đến $ S $ là $ \overrightarrow{BS} = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{\sqrt{2}}\right) $.

Bước 7: Tính khoảng cách
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau được tính bằng công thức:
  $$
  d = \frac{|(\overrightarrow{BS} \cdot (\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}))|}{|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}|}
  $$
- Tính tích có hướng $ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \left(0, 1, 0\right) \times \left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, \frac{a}{\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{a^2}{2\sqrt{2}}, 0, -\frac{a}{2}\right) $.
- Độ dài $ |\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}| = \sqrt{\left(\frac{a^2}{2\sqrt{2}}\right)^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a^2}{2} $.
- Tích vô hướng $ \overrightarrow{BS} \cdot (\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\frac{a^2}{2\sqrt{2}}, 0, -\frac{a}{2}\right) = -\frac{a^3}{4\sqrt{2}} - \frac{a^3}{2\sqrt{2}} = -\frac{3a^3}{4\sqrt{2}} $.
- Khoảng cách $ d = \frac{\left|-\frac{3a^3}{4\sqrt{2}}\right|}{\frac{a^2}{2}} = \frac{3a}{\sqrt{2}} $.

Vậy, khoảng cách giữa hai đường thẳng $ BC $ và $ SD $ là $ \frac{3a}{\sqrt{2}} $.