Đáp án đúng

Câu 8: Ta có tổng tần số của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \[ n = 10 + 11 + 8 + 6 + 4 + 1 = 40 \] Tứ phân vị thứ ba (\( Q_3 \)) là giá trị nằm ở vị trí \(\frac{3}{4} \times 40 = 30\). Bây giờ ta sẽ tính toán để tìm giá trị tại vị trí này. - Nhóm \([0;30)\) có tần số 10, nên đến vị trí 10. - Nhóm \([30;60)\) có tần số 11, nên đến vị trí 21. - Nhóm \([60;90)\) có tần số 8, nên đến vị trí 29. - Nhóm \([90;120)\) có tần số 6, nên đến vị trí 35. Do đó, tứ phân vị thứ ba nằm trong nhóm \([90;120)\). Sử dụng công thức tính giá trị của tứ phân vị trong một nhóm: \[ Q_3 = L + \left( \frac{\frac{3n}{4} - F}{f} \right) \times w \] Trong đó: - \( L \) là giới hạn dưới của nhóm chứa \( Q_3 \) (ở đây là 90), - \( F \) là tổng tần số của tất cả các nhóm trước nhóm chứa \( Q_3 \) (ở đây là 29), - \( f \) là tần số của nhóm chứa \( Q_3 \) (ở đây là 6), - \( w \) là khoảng cách giữa các nhóm (ở đây là 30). Thay các giá trị vào công thức: \[ Q_3 = 90 + \left( \frac{30 - 29}{6} \right) \times 30 \] \[ Q_3 = 90 + \left( \frac{1}{6} \right) \times 30 \] \[ Q_3 = 90 + 5 \] \[ Q_3 = 95 \] Vậy, tứ phân vị thứ ba (\( Q_3 \)) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 95. Đáp án đúng là: B. 95. Câu 9: Để xác định diện tích \( S \) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = 2x + 1 \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = 1 \) và \( x = 2 \), ta cần sử dụng tích phân để tính diện tích giữa đường thẳng và trục hoành. Biểu thức diện tích \( S \) được tính bằng tích phân của hàm số \( y = 2x + 1 \) từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \). Công thức tổng quát để tính diện tích giữa đường cong \( y = f(x) \) và trục hoành từ \( x = a \) đến \( x = b \) là: \[ S = \int_a^b f(x) \, dx \] Áp dụng vào bài toán này, ta có: \[ S = \int_1^2 (2x + 1) \, dx \] Bây giờ, ta sẽ tính tích phân này: 1. Tính nguyên hàm của \( 2x + 1 \): \[ \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C \] 2. Tính giá trị của tích phân từ 1 đến 2: \[ S = \left[ x^2 + x \right]_1^2 = (2^2 + 2) - (1^2 + 1) \] \[ = (4 + 2) - (1 + 1) = 6 - 2 = 4 \] Vậy diện tích \( S \) của hình phẳng là 4. Do đó, đáp án đúng là \( D. \, S = \int_1^2 (2x + 1) \, dx \). Câu 10: Để tìm giá trị của \( u_{10} \) trong cấp số cộng \((u_n)\) với \( u_1 = 2 \) và công sai \( d = 3 \), ta sử dụng công thức tổng quát của cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n - 1)d \] Trong đó: - \( u_1 \) là số hạng đầu tiên, - \( d \) là công sai, - \( n \) là chỉ số của số hạng cần tìm. Áp dụng vào bài toán này: \[ u_{10} = u_1 + (10 - 1)d \] \[ u_{10} = 2 + 9 \cdot 3 \] \[ u_{10} = 2 + 27 \] \[ u_{10} = 29 \] Do đó, giá trị của \( u_{10} \) là 29. Tuy nhiên, đề bài yêu cầu chọn đáp án từ các lựa chọn đã cho: A. 12, B. 14, C. 17, D. 15. Rõ ràng, không có đáp án nào trong các lựa chọn này đúng với giá trị tính toán được. Vì vậy, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các lựa chọn đáp án. Đáp số: \( u_{10} = 29 \). Câu 11: Để tính thể tích của khối chóp \( O.ABC \), ta cần sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{đáy}} \times h \] Trong đó: - \( S_{\text{đáy}} \) là diện tích của tam giác đáy \( ABC \). - \( h \) là chiều cao của khối chóp, tức là độ dài đoạn thẳng \( OA \). Bước 1: Tính diện tích đáy \( S_{ABC} \) Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( AB = 3 \) và \( AC = 6 \). Diện tích của tam giác vuông \( ABC \) được tính bằng: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9 \] Bước 2: Xác định chiều cao \( h \) Vì \( OA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABC) \), nên \( OA \) chính là chiều cao của khối chóp. Do đó, \( h = OA = 2 \). Bước 3: Tính thể tích khối chóp \( O.ABC \) Áp dụng công thức tính thể tích: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times h = \frac{1}{3} \times 9 \times 2 = 6 \] Vậy, thể tích của khối chóp \( O.ABC \) là \( 6 \). Đáp án: D. 6. Câu 12: Để tìm phương trình của đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{ax+b}{cx+d} \), ta cần xác định giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng 0, tức là: \[ cx + d = 0 \] Giải phương trình này, ta có: \[ x = -\frac{d}{c} \] Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy khi \( x \to -2^- \) thì \( y \to +\infty \) và khi \( x \to -2^+ \) thì \( y \to -\infty \). Điều này cho thấy tại \( x = -2 \), hàm số có đường tiệm cận đứng. Vậy phương trình của đường tiệm cận đứng là \( x = -2 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~x=-2.} \] Câu 1: Ta có sơ đồ sau: \begin{tikzpicture}[scale=0.5] \node at (0,0) [draw, rectangle, minimum width=10cm, minimum height=5cm] {}; \node at (0,2.5) [draw, rectangle, minimum width=8cm, minimum height=3cm] {}; \node at (-4,1.5) [draw, rectangle, minimum width=4cm, minimum height=1.5cm] {}; \node at (4,1.5) [draw, rectangle, minimum width=4cm, minimum height=1.5cm] {}; \node at (-4,-1.5) [draw, rectangle, minimum width=4cm, minimum height=1.5cm] {}; \node at (4,-1.5) [draw, rectangle, minimum width=4cm, minimum height=1.5cm] {}; \node at (-2,0) {Quảng cáo}; \node at (2,0) {Không phải quảng cáo}; \node at (-6,1.5) {Bị đánh dấu}; \node at (6,1.5) {Không bị đánh dấu}; \node at (-6,-1.5) {Bị đánh dấu}; \node at (6,-1.5) {Không bị đánh dấu}; \end{tikzpicture} Trong đó, các ô vuông nhỏ ở bên trái tương ứng với các tin nhắn bị đánh dấu và không bị đánh dấu, còn các ô vuông lớn ở bên phải tương ứng với các tin nhắn là quảng cáo và không phải quảng cáo. Gọi A là biến cố "tin nhắn được chọn là quảng cáo". Gọi B là biến cố "tin nhắn được chọn bị đánh dấu". Theo đề bài, ta có: P(B) = 0,2 P(A|B) = 0,1 P(A|\overline{B}) = 0,1 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\overline{B})P(\overline{B}) = 0,1 × 0,2 + 0,1 × 0,8 = 0,1 Do đó, xác suất để tin nhắn được chọn không phải là quảng cáo là: P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,1 = 0,9 Xác suất để tin nhắn được chọn không bị đánh dấu là: P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,2 = 0,8 Xác suất để tin nhắn được chọn không phải là quảng cáo, biết rằng nó không bị đánh dấu là: P(\overline{A}|\overline{B}) = \frac{P(\overline{A}\cap\overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{0,9 × 0,8}{0,8} = 0,9 Xác suất để tin nhắn được chọn không bị đánh dấu, biết rằng nó không phải là quảng cáo là: P(\overline{B}|\overline{A}) = \frac{P(\overline{B}\cap\overline{A})}{P(\overline{A})} = \frac{0,8 × 0,9}{0,9} = 0,8 Như vậy, đáp án đúng là: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng Câu 2: a) Đúng. Ta có: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 27x + 81) = 3x^2 - 27 \] b) Sai. Ta có: \[ f'(x) = 0 \] \[ 3x^2 - 27 = 0 \] \[ 3x^2 = 27 \] \[ x^2 = 9 \] \[ x = 3 \text{ hoặc } x = -3 \] Do đó, tập nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) là \( S = \{-3, 3\} \). c) Đúng. Ta có: \[ f(3) = 3^3 - 27 \cdot 3 + 81 = 27 - 81 + 81 = 27 \] d) Sai. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([-4; 4]\), ta cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn. Các điểm tới hạn là \( x = -3 \) và \( x = 3 \). Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm này và tại các đầu mút \( x = -4 \) và \( x = 4 \): \[ f(-4) = (-4)^3 - 27 \cdot (-4) + 81 = -64 + 108 + 81 = 125 \] \[ f(-3) = (-3)^3 - 27 \cdot (-3) + 81 = -27 + 81 + 81 = 135 \] \[ f(3) = 3^3 - 27 \cdot 3 + 81 = 27 - 81 + 81 = 27 \] \[ f(4) = 4^3 - 27 \cdot 4 + 81 = 64 - 108 + 81 = 37 \] So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([-4; 4]\) là 27, đạt được khi \( x = 3 \). Vậy đáp án đúng là: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Câu 3: Để giải quyết bài toán liên quan đến việc kiểm soát lượng thuốc tồn dư trong nước, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số và biến số: - Gọi \( C(t) \) là nồng độ thuốc trong nước tại thời điểm \( t \) (đơn vị: mg/L). - Gọi \( C_0 \) là nồng độ ban đầu của thuốc ngay sau khi sử dụng (đơn vị: mg/L). - Gọi \( k \) là hằng số phân rã của thuốc (đơn vị: 1/ngày). 2. Xây dựng mô hình toán học: - Giả sử nồng độ thuốc giảm theo quy luật phân rã mũ, tức là: \[ C(t) = C_0 e^{-kt} \] - Trong đó \( e \) là cơ số tự nhiên. 3. Xác định các giá trị cụ thể: - Cần biết giá trị của \( C_0 \) và \( k \). Nếu không có dữ liệu cụ thể, chúng ta có thể giả sử hoặc sử dụng các giá trị trung bình từ các nghiên cứu trước đây. 4. Tìm nồng độ thuốc tại thời điểm cụ thể: - Ví dụ, nếu muốn tìm nồng độ thuốc sau \( t \) ngày, thay \( t \) vào công thức trên: \[ C(t) = C_0 e^{-kt} \] 5. Kiểm tra nồng độ thuốc so với tiêu chuẩn an toàn: - Giả sử tiêu chuẩn an toàn yêu cầu nồng độ thuốc không vượt quá \( C_{\text{max}} \) (đơn vị: mg/L). - Ta cần đảm bảo rằng: \[ C(t) \leq C_{\text{max}} \] - Giải bất phương trình này để tìm thời gian \( t \) mà nồng độ thuốc còn dưới mức cho phép. 6. Kết luận: - Dựa trên các tính toán trên, chúng ta sẽ xác định được thời gian cần thiết để nồng độ thuốc giảm xuống dưới mức an toàn. Ví dụ cụ thể: Giả sử \( C_0 = 10 \) mg/L và \( k = 0.1 \) 1/ngày, và tiêu chuẩn an toàn yêu cầu \( C_{\text{max}} = 1 \) mg/L. Ta có: \[ C(t) = 10 e^{-0.1t} \] Yêu cầu: \[ 10 e^{-0.1t} \leq 1 \] Giải bất phương trình: \[ e^{-0.1t} \leq 0.1 \] \[ -0.1t \leq \ln(0.1) \] \[ t \geq \frac{\ln(0.1)}{-0.1} \] \[ t \geq \frac{-2.3026}{-0.1} \] \[ t \geq 23.026 \] Vậy sau khoảng 23 ngày, nồng độ thuốc sẽ giảm xuống dưới mức an toàn. Kết luận: Sau khoảng 23 ngày, nồng độ thuốc trong nước sẽ giảm xuống dưới mức an toàn \( C_{\text{max}} = 1 \) mg/L.