Giúp mình đi

Câu 1: Để xác định diện tích \( S \) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \( y = 2x - 3 \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = 1 \) và \( x = 2 \), ta cần tính tích phân của hàm số này trên đoạn \([1, 2]\). Trước tiên, ta xét hàm số \( y = 2x - 3 \) trên đoạn \([1, 2]\): 1. Tính giá trị của hàm số tại các điểm giới hạn: - Tại \( x = 1 \): \( y = 2(1) - 3 = -1 \). - Tại \( x = 2 \): \( y = 2(2) - 3 = 1 \). 2. Hàm số \( y = 2x - 3 \) cắt trục hoành tại điểm mà \( y = 0 \): \[ 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}. \] Điểm này nằm trong đoạn \([1, 2]\). 3. Trên đoạn \([1, \frac{3}{2}]\), hàm số \( y = 2x - 3 \) có giá trị âm, và trên đoạn \([\frac{3}{2}, 2]\), hàm số có giá trị dương. Do đó, diện tích \( S \) được tính bằng: \[ S = \left| \int_1^{\frac{3}{2}} (2x - 3) \, dx \right| + \int_{\frac{3}{2}}^2 (2x - 3) \, dx. \] Tính từng tích phân: - Tích phân trên đoạn \([1, \frac{3}{2}]\): \[ \int_1^{\frac{3}{2}} (2x - 3) \, dx = \left[ x^2 - 3x \right]_1^{\frac{3}{2}} = \left( \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} \right) - (1^2 - 3 \cdot 1). \] \[ = \left( \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \right) - (1 - 3) = \left( \frac{9}{4} - \frac{18}{4} \right) - (-2) = -\frac{9}{4} + 2 = -\frac{1}{4}. \] Giá trị tuyệt đối là \(\left| -\frac{1}{4} \right| = \frac{1}{4}\). - Tích phân trên đoạn \([\frac{3}{2}, 2]\): \[ \int_{\frac{3}{2}}^2 (2x - 3) \, dx = \left[ x^2 - 3x \right]_{\frac{3}{2}}^2 = \left( 2^2 - 3 \cdot 2 \right) - \left( \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} \right). \] \[ = (4 - 6) - \left( \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \right) = -2 - \left( \frac{9}{4} - \frac{18}{4} \right) = -2 + \frac{9}{4} = -\frac{8}{4} + \frac{9}{4} = \frac{1}{4}. \] Tổng diện tích là: \[ S = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}. \] Vậy đáp án đúng là \(\textcircled{C.}~S=|\int^2_1(2x-3)dx|\). Câu 2: Nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 \) là một hàm số \( F(x) \) sao cho \( F'(x) = f(x) \). Ta biết rằng nguyên hàm của \( x^n \) là \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) với \( n \neq -1 \). Áp dụng công thức này cho \( f(x) = x^2 \): \[ F(x) = \int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C \] Do đó, họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 \) là: \[ \frac{x^3}{3} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\textcircled{D.}~\frac{1}{3}x^3 + C} \] Câu 3: Để tìm phương trình của đường tiệm cận đứng của hàm số \( y = \frac{ax+b}{cx+d} \), ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho mẫu số bằng 0, tức là: \[ cx + d = 0. \] Giải phương trình này, ta có: \[ x = -\frac{d}{c}. \] Quan sát đồ thị, ta thấy có một đường tiệm cận đứng tại \( x = -1 \). Do đó, phương trình của đường tiệm cận đứng là: \[ x = -1. \] Vậy đáp án đúng là \( \boxed{D.~x=-1.} \). Câu 4: Phương trình \(\sin x = 0\) có nghiệm khi \(x\) là bội số nguyên của \(\pi\). Điều này xuất phát từ tính chất của hàm số sin, trong đó \(\sin x = 0\) tại các điểm \(x = k\pi\) với \(k\) là số nguyên. Do đó, tập nghiệm của phương trình \(\sin x = 0\) là: \[ S = \{k\pi | k \in \mathbb{Z}\}. \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~S = \{k\pi | k \in \mathbb{Z}\}. \] Câu 5: Để tìm tứ phân vị thứ ba \( Q_3 \) của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số phần tử (tổng tần số): \[ 11 + 10 + 6 + 8 + 4 + 1 = 40 \] 2. Xác định vị trí của \( Q_3 \): Tứ phân vị thứ ba \( Q_3 \) nằm ở vị trí: \[ \frac{3}{4} \times 40 = 30 \] Điều này có nghĩa là \( Q_3 \) nằm ở vị trí thứ 30 trong dãy số liệu đã sắp xếp. 3. Xác định nhóm chứa \( Q_3 \): - Nhóm \([0;40)\): 11 phần tử (từ vị trí 1 đến 11) - Nhóm \([40;80)\): 10 phần tử (từ vị trí 12 đến 21) - Nhóm \([80;120)\): 6 phần tử (từ vị trí 22 đến 27) - Nhóm \([120;160)\): 8 phần tử (từ vị trí 28 đến 35) Vì vị trí 30 nằm trong nhóm \([120;160)\), nên \( Q_3 \) nằm trong nhóm này. 4. Áp dụng công thức tính \( Q_3 \): Công thức tính \( Q_3 \) cho dữ liệu ghép nhóm là: \[ Q_3 = L + \left( \frac{\frac{3N}{4} - F}{f} \right) \times c \] Trong đó: - \( L \) là giới hạn dưới của nhóm chứa \( Q_3 \) (ở đây là 120) - \( N \) là tổng số phần tử (40) - \( F \) là tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa \( Q_3 \) (11 + 10 + 6 = 27) - \( f \) là tần số của nhóm chứa \( Q_3 \) (8) - \( c \) là khoảng cách giữa các nhóm (40) Thay các giá trị vào công thức: \[ Q_3 = 120 + \left( \frac{30 - 27}{8} \right) \times 40 \] \[ Q_3 = 120 + \left( \frac{3}{8} \right) \times 40 \] \[ Q_3 = 120 + 15 \] \[ Q_3 = 135 \] Vậy, tứ phân vị thứ ba \( Q_3 \) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 135 giây. Đáp án đúng là: D. 135. Câu 6: Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến cho trước, ta cần sử dụng công thức tổng quát của phương trình mặt phẳng: \[ ax + by + cz + d = 0 \] trong đó \((a, b, c)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và \((x_0, y_0, z_0)\) là tọa độ của điểm mà mặt phẳng đi qua. Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] Bây giờ, ta sẽ phân tích từng phương trình đã cho để xác định phương trình nào là đúng. Phân tích từng phương trình: 1. Phương trình A: \[ 2(x-3) + (y-2) - 4(z+1) = 0 \] - Vectơ pháp tuyến: \((2, 1, -4)\) - Điểm đi qua: \((3, 2, -1)\) 2. Phương trình B: \[ 3(x+2) + 2(y+1) - (z-4) = 0 \] - Vectơ pháp tuyến: \((3, 2, -1)\) - Điểm đi qua: \((-2, -1, 4)\) 3. Phương trình C: \[ 2(x+3) + (y+2) - 4(z-1) = 0 \] - Vectơ pháp tuyến: \((2, 1, -4)\) - Điểm đi qua: \((-3, -2, 1)\) 4. Phương trình D: \[ 3(x-2) + 2(y-1) - (z+4) = 0 \] - Vectơ pháp tuyến: \((3, 2, -1)\) - Điểm đi qua: \((2, 1, -4)\) Kết luận: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \((2, 1, -4)\) và có vectơ pháp tuyến \((3, 2, -1)\) là phương trình D: \[ 3(x-2) + 2(y-1) - (z+4) = 0 \] Vậy đáp án đúng là \(\textcircled{D}\).