Làm theo cực đại và cực tiểu, lập bảng biến thiên

Câu 1: Câu a: Tìm cực trị của hàm số \( y = 2x^3 - 3x^2 + 1 \). 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = 6x^2 - 6x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 6x^2 - 6x = 0 \implies 6x(x - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 1 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai: \[ y'' = 12x - 6 \] 4. Thay các giá trị \( x = 0 \) và \( x = 1 \) vào \( y'' \): \[ y''(0) = 12(0) - 6 = -6 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Hàm số đạt cực đại tại } x = 0 \] \[ y''(1) = 12(1) - 6 = 6 > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Hàm số đạt cực tiểu tại } x = 1 \] 5. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: \[ y(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 + 1 = 1 \] \[ y(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0 \] Kết luận: - Hàm số đạt cực đại tại \( x = 0 \) với giá trị \( y = 1 \). - Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \) với giá trị \( y = 0 \). Câu b: Tìm cực trị của hàm số \( y = -x^4 + 2x^3 - 2x - 1 \). 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = -4x^3 + 6x^2 - 2 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -4x^3 + 6x^2 - 2 = 0 \implies 2x^3 - 3x^2 + 1 = 0 \] Giải phương trình này để tìm các giá trị \( x \). 3. Tìm đạo hàm bậc hai: \[ y'' = -12x^2 + 12x \] 4. Thay các giá trị \( x \) vào \( y'' \) để kiểm tra tính chất cực trị. 5. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị. Kết luận: - Hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \) với giá trị \( y = 0 \). - Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = -1 \) với giá trị \( y = -4 \). Câu c: Tìm cực trị của hàm số \( y = \frac{x+2}{3x-1} \). 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = \frac{(3x-1)(1) - (x+2)(3)}{(3x-1)^2} = \frac{3x - 1 - 3x - 6}{(3x-1)^2} = \frac{-7}{(3x-1)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{-7}{(3x-1)^2} = 0 \quad \text{(không có nghiệm)} \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai: \[ y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{-7}{(3x-1)^2}\right) \] 4. Thay các giá trị \( x \) vào \( y'' \) để kiểm tra tính chất cực trị. 5. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị. Kết luận: - Hàm số không có cực trị. Câu d: Tìm cực trị của hàm số \( y = \frac{x^2-4x+4}{1-x} \). 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = \frac{(1-x)(2x-4) - (x^2-4x+4)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 + 4x - 4}{(1-x)^2} = \frac{x^2 - 4}{(1-x)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{x^2 - 4}{(1-x)^2} = 0 \implies x^2 - 4 = 0 \implies x = 2 \text{ hoặc } x = -2 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai: \[ y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2 - 4}{(1-x)^2}\right) \] 4. Thay các giá trị \( x \) vào \( y'' \) để kiểm tra tính chất cực trị. 5. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị. Kết luận: - Hàm số đạt cực đại tại \( x = 2 \) với giá trị \( y = 0 \). - Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = -2 \) với giá trị \( y = 4 \). Câu e: Tìm cực trị của hàm số \( y = \sqrt{10x - x^2} \). 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{10x - x^2}} \cdot (10 - 2x) = \frac{10 - 2x}{2\sqrt{10x - x^2}} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{10 - 2x}{2\sqrt{10x - x^2}} = 0 \implies 10 - 2x = 0 \implies x = 5 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai: \[ y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{10 - 2x}{2\sqrt{10x - x^2}}\right) \] 4. Thay các giá trị \( x \) vào \( y'' \) để kiểm tra tính chất cực trị. 5. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị. Kết luận: - Hàm số đạt cực đại tại \( x = 5 \) với giá trị \( y = 5 \). Câu f: Tìm cực trị của hàm số \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \). 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = \frac{(x^2 + 1)(1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} = 0 \implies 1 - x^2 = 0 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai: \[ y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}\right) \] 4. Thay các giá trị \( x \) vào \( y'' \) để kiểm tra tính chất cực trị. 5. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị. Kết luận: - Hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \) với giá trị \( y = \frac{1}{2} \). - Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = -1 \) với giá trị \( y = -\frac{1}{2} \). Câu g: Tìm cực trị của hàm số \( y = 2^{x^2 - 5x} \). 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = 2^{x^2 - 5x} \ln 2 \cdot (2x - 5) \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 2^{x^2 - 5x} \ln 2 \cdot (2x - 5) = 0 \implies 2x - 5 = 0 \implies x = \frac{5}{2} \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai: \[ y'' = \frac{d}{dx}\left(2^{x^2 - 5x} \ln 2 \cdot (2x - 5)\right) \] 4. Thay các giá trị \( x \) vào \( y'' \) để kiểm tra tính chất cực trị. 5. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị. Kết luận: - Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = \frac{5}{2} \) với giá trị \( y = 2^{-\frac{25}{4}} \). Câu h: Tìm cực trị của hàm số \( y = \frac{e^x}{x} \). 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = \frac{xe^x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{e^x(x - 1)}{x^2} = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai: \[ y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{e^x(x - 1)}{x^2}\right) \] 4. Thay các giá trị \( x \) vào \( y'' \) để kiểm tra tính chất cực trị. 5. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị. Kết luận: - Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \) với giá trị \( y = e \). Câu i: Tìm cực trị của hàm số \( y = \log_3(6x - x^2) \). 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = \frac{1}{(6x - x^2) \ln 3} \cdot (6 - 2x) = \frac{6 - 2x}{(6x - x^2) \ln 3} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{6 - 2x}{(6x - x^2) \ln 3} = 0 \implies 6 - 2x = 0 \implies x = 3 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai: \[ y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{6 - 2x}{(6x - x^2) \ln 3}\right) \] 4. Thay các giá trị \( x \) vào \( y'' \) để kiểm tra tính chất cực trị. 5. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị. Kết luận: - Hàm số đạt cực đại tại \( x = 3 \) với giá trị \( y = \log_3(9) = 2 \).