Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính độ dài đoạn MN. b) Chứng minh rằng MN vuông góc với cạnh AD. c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (BCD).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tính độ dài đoạn MN Tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Do đó, ta có: - \( \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \) - \( \overrightarrow{CN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} \) Để tính độ dài đoạn MN, ta cần tìm vector \( \overrightarrow{MN} \): \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{CN} - \overrightarrow{AM} \] Vì M và N là trung điểm, ta có: \[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \] Do tứ diện đều, các vector \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{CD} \) có độ dài bằng nhau và vuông góc với nhau. Sử dụng định lý Pythagore trong không gian, ta có: \[ MN = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] b) Chứng minh rằng MN vuông góc với cạnh AD Để chứng minh MN vuông góc với AD, ta cần chứng minh tích vô hướng của hai vector \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{AD} \) bằng 0. Ta có: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} \] Và: \[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \] Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AD} = \left(\frac{1}{2} \overrightarrow{CD} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\right) \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}) \] Do \( \overrightarrow{CD} \) vuông góc với \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{BD} \), và \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = a^2 \), ta có: \[ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{BD} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 - \frac{1}{2} a^2 = 0 \] Vậy MN vuông góc với AD. c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (BCD) Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (BCD), ta cần tìm độ dài đường vuông góc từ M đến mặt phẳng (BCD). Giả sử \( \overrightarrow{n} \) là vector pháp tuyến của mặt phẳng (BCD). Vector này có thể được xác định bằng tích có hướng của hai vector trong mặt phẳng, ví dụ \( \overrightarrow{BC} \) và \( \overrightarrow{BD} \). Tính tích có hướng: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} \] Sau đó, tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (BCD) bằng công thức: \[ d = \frac{| \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} |}{|\overrightarrow{n}|} \] Với \( \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \). Tính toán cụ thể sẽ phụ thuộc vào tọa độ cụ thể của các điểm, nhưng về nguyên tắc, đây là cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian.