Giúp mình với!

Bài 1: a) Điều kiện xác định: Tất cả các giá trị của \( x \) đều thỏa mãn. Ta có: \[ \cos(2x + \frac{\pi}{3}) = 1 \] \[ 2x + \frac{\pi}{3} = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ 2x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] b) Điều kiện xác định: Tất cả các giá trị của \( x \) đều thỏa mãn. Ta có: \[ 2\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1 = 0 \] \[ 2\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = -1 \] \[ \sin(2x - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \] \[ 2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \] \[ 2x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \frac{9\pi}{6} + k2\pi \] \[ x = \frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] c) Điều kiện xác định: Tất cả các giá trị của \( x \) đều thỏa mãn. Ta có: \[ \cos 2x - 2\sin(3\pi - x) + 3 = 0 \] \[ \cos 2x - 2(-\sin x) + 3 = 0 \] \[ \cos 2x + 2\sin x + 3 = 0 \] \[ 1 - 2\sin^2 x + 2\sin x + 3 = 0 \] \[ -2\sin^2 x + 2\sin x + 4 = 0 \] \[ \sin^2 x - \sin x - 2 = 0 \] Đặt \( t = \sin x \): \[ t^2 - t - 2 = 0 \] \[ t = 2 \quad \text{hoặc} \quad t = -1 \] Với \( t = 2 \) (loại vì \( \sin x \leq 1 \)). Với \( t = -1 \): \[ \sin x = -1 \] \[ x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] d) Điều kiện xác định: \[ 1 - \sin x \neq 0 \] \[ \sin x \neq 1 \] \[ x \neq \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Ta có: \[ \frac{(1 - 2\sin x)\sin(\frac{\pi}{2} - x)}{1 - \sin x} = \sqrt{3}(1 + 2\sin x) \] \[ \frac{(1 - 2\sin x)\cos x}{1 - \sin x} = \sqrt{3}(1 + 2\sin x) \] \[ (1 - 2\sin x)\cos x = \sqrt{3}(1 + 2\sin x)(1 - \sin x) \] \[ (1 - 2\sin x)\cos x = \sqrt{3}(1 - \sin x + 2\sin x - 2\sin^2 x) \] \[ (1 - 2\sin x)\cos x = \sqrt{3}(1 + \sin x - 2\sin^2 x) \] Xét hai trường hợp: 1. \( \cos x = 0 \) \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \] Nhưng \( x \neq \frac{\pi}{2} + k2\pi \), nên \( x = \frac{\pi}{2} + (2k+1)\pi \). 2. \( 1 - 2\sin x = \sqrt{3}(1 + \sin x - 2\sin^2 x) \) \[ 1 - 2\sin x = \sqrt{3} + \sqrt{3}\sin x - 2\sqrt{3}\sin^2 x \] \[ 2\sqrt{3}\sin^2 x - (\sqrt{3} + 2)\sin x + 1 - \sqrt{3} = 0 \] Giải phương trình bậc hai này để tìm \( \sin x \) và từ đó suy ra \( x \). Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{2} + (2k+1)\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Bài 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tìm ảnh của điểm \( A(2;5) \) qua phép tịnh tiến theo vectơ \( \overrightarrow{u} = (1;2) \). Phép tịnh tiến theo vectơ \( \overrightarrow{u} = (1;2) \) sẽ biến điểm \( A(x;y) \) thành điểm \( A'(x+1; y+2) \). Với \( A(2;5) \), ta có: - Hoành độ của \( A' \) là \( 2 + 1 = 3 \). - Tung độ của \( A' \) là \( 5 + 2 = 7 \). Vậy ảnh của điểm \( A(2;5) \) qua phép tịnh tiến theo vectơ \( \overrightarrow{u} \) là \( A'(3;7) \). b) Dựng các hình vuông và tính độ dài đoạn thẳng \( IJ \). Bước 1: Xác định vị trí các điểm A, B, C. Cho \( AC = 3 \) và \( AB = 2BC \). Gọi \( B \) là điểm nằm giữa \( A \) và \( C \), ta có: - \( AB = 2x \) - \( BC = x \) - \( AC = AB + BC = 2x + x = 3 \) Giải phương trình \( 3x = 3 \), ta được \( x = 1 \). Vậy \( AB = 2 \) và \( BC = 1 \). Bước 2: Dựng các hình vuông ABEF và BCGH. - Hình vuông \( ABEF \) có cạnh \( AB = 2 \). - Hình vuông \( BCGH \) có cạnh \( BC = 1 \). Bước 3: Xét phép quay tâm \( B \) góc quay \(-90^\circ\) biến điểm \( E \) thành điểm \( A \). Phép quay \(-90^\circ\) quanh điểm \( B \) sẽ biến điểm \( E \) thành điểm \( A \). Do đó, \( E \) và \( A \) là hai điểm đối xứng qua \( B \) theo góc quay \(-90^\circ\). Bước 4: Tìm giao điểm \( I \) của \( EC \) và \( GH \). Do \( E \) và \( A \) là hai điểm đối xứng qua \( B \) theo góc quay \(-90^\circ\), và \( GH \) là cạnh của hình vuông \( BCGH \), nên \( I \) là trung điểm của \( EC \). Bước 5: Tính độ dài đoạn thẳng \( IJ \). Vì \( I \) biến thành \( J \) qua phép quay \(-90^\circ\) quanh \( B \), và \( I \) là trung điểm của \( EC \), nên \( IJ \) là đường chéo của hình vuông có cạnh bằng nửa độ dài của \( EC \). Do \( EC = 3 \), nên \( IJ = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \). Vậy độ dài đoạn thẳng \( IJ \) là \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \).