Tìm max của P. Cho tam giác ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{\sin A}+\sqrt{\sin B}+\sqrt[4]{12}\sqrt{\sin C}.$

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ P = \sqrt{\sin A} + \sqrt{\sin B} + \sqrt[4]{12}\sqrt{\sin C} $ trong tam giác $ ABC $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Điều kiện xác định
Trong tam giác $ ABC $, các góc $ A, B, C $ thỏa mãn $ A + B + C = 180^\circ $ và $ 0 < A, B, C < 180^\circ $. Do đó, $ \sin A, \sin B, \sin C $ đều dương.

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức
Ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để tìm giá trị lớn nhất của $ P $.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba số dương $\sqrt{\sin A}$, $\sqrt{\sin B}$, $\sqrt[4]{12}\sqrt{\sin C}$, ta có:

$$
\left( \sqrt{\sin A} + \sqrt{\sin B} + \sqrt[4]{12}\sqrt{\sin C} \right)^2 \leq (1^2 + 1^2 + \sqrt[4]{12}^2)(\sin A + \sin B + \sin C)
$$

Tính toán:

$$
1^2 + 1^2 + \sqrt[4]{12}^2 = 1 + 1 + \sqrt{12} = 2 + 2\sqrt{3}
$$

Do đó:

$$
P^2 \leq (2 + 2\sqrt{3})(\sin A + \sin B + \sin C)
$$

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của $\sin A + \sin B + \sin C$
Trong tam giác, ta có bất đẳng thức:

$$
\sin A + \sin B + \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}
$$

Bước 4: Tính giá trị lớn nhất của $ P $
Từ bất đẳng thức trên, ta có:

$$
P^2 \leq (2 + 2\sqrt{3}) \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} + 3\sqrt{9} = 3\sqrt{3} + 9
$$

Do đó:

$$
P \leq \sqrt{3\sqrt{3} + 9}
$$

Kết luận
Giá trị lớn nhất của $ P $ là $\sqrt{3\sqrt{3} + 9}$, đạt được khi $\sin A = \sin B = \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$, tức là khi tam giác $ ABC $ là tam giác đều với $ A = B = C = 60^\circ $.