Tìm tọa độ các đỉnh. Câu 4. (2,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I . Trung điểm,cạnh AB là $M(0;3),$ trung điểm đoạn CI là $J(1;0).$ Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết đỉnh D,thuộc đường thẳng $\Delta:x-y+1=0.$

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 4:
Để tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông $ABCD$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ điểm $I$:

Gọi tọa độ của $I$ là $(x_I, y_I)$. Vì $I$ là tâm của hình vuông, nên $I$ cũng là trung điểm của đoạn $AC$ và đoạn $BD$.

2. Tìm tọa độ điểm $C$:

Gọi tọa độ của $C$ là $(x_C, y_C)$. Theo đề bài, trung điểm của đoạn $CI$ là $J(1, 0)$. Do đó, ta có:
   $$
   \left(\frac{x_C + x_I}{2}, \frac{y_C + y_I}{2}\right) = (1, 0)
   $$
   Từ đó, ta suy ra:
   $$
   x_C + x_I = 2 \quad \text{(1)}
   $$
   $$
   y_C + y_I = 0 \quad \text{(2)}
   $$

3. Tìm tọa độ điểm $A$ và $B$:

Gọi tọa độ của $A$ là $(x_A, y_A)$ và $B$ là $(x_B, y_B)$. Trung điểm của $AB$ là $M(0, 3)$, do đó:
   $$
   \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = (0, 3)
   $$
   Suy ra:
   $$
   x_A + x_B = 0 \quad \text{(3)}
   $$
   $$
   y_A + y_B = 6 \quad \text{(4)}
   $$

4. Tìm tọa độ điểm $D$:

Gọi tọa độ của $D$ là $(x_D, y_D)$. Vì $D$ thuộc đường thẳng $\Delta: x - y + 1 = 0$, nên:
   $$
   x_D - y_D + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_D = y_D - 1 \quad \text{(5)}
   $$

5. Sử dụng tính chất hình vuông:

Vì $I$ là trung điểm của $AC$ và $BD$, ta có:
   $$
   x_A + x_C = 2x_I \quad \text{(6)}
   $$
   $$
   y_A + y_C = 2y_I \quad \text{(7)}
   $$
   $$
   x_B + x_D = 2x_I \quad \text{(8)}
   $$
   $$
   y_B + y_D = 2y_I \quad \text{(9)}
   $$

6. Giải hệ phương trình:

Từ (1) và (2), ta có:
   $$
   x_C = 2 - x_I
   $$
   $$
   y_C = -y_I
   $$

Từ (3) và (4), ta có:
   $$
   x_A = -x_B
   $$
   $$
   y_A = 6 - y_B
   $$

Thay vào (6) và (7):
   $$
   -x_B + (2 - x_I) = 2x_I \quad \Rightarrow \quad x_B = 2 - 3x_I
   $$
   $$
   6 - y_B - y_I = 2y_I \quad \Rightarrow \quad y_B = 6 - 3y_I
   $$

Thay vào (8) và (9):
   $$
   2 - 3x_I + x_D = 2x_I \quad \Rightarrow \quad x_D = 5x_I - 2
   $$
   $$
   6 - 3y_I + y_D = 2y_I \quad \Rightarrow \quad y_D = 5y_I - 6
   $$

Kết hợp với (5):
   $$
   5x_I - 2 = 5y_I - 6 - 1 \quad \Rightarrow \quad 5x_I = 5y_I - 5 \quad \Rightarrow \quad x_I = y_I - 1
   $$

7. Tìm tọa độ cụ thể:

Giả sử $x_I = 1$, thì $y_I = 2$.

Từ đó, ta có:
   $$
   x_C = 2 - 1 = 1, \quad y_C = -2
   $$
   $$
   x_B = 2 - 3 \times 1 = -1, \quad y_B = 6 - 3 \times 2 = 0
   $$
   $$
   x_D = 5 \times 1 - 2 = 3, \quad y_D = 5 \times 2 - 6 = 4
   $$

Vậy tọa độ các đỉnh của hình vuông là:
   - $A(-1, 6)$
   - $B(-1, 0)$
   - $C(1, -2)$
   - $D(3, 4)$

Kiểm tra lại điều kiện $D$ thuộc đường thẳng $\Delta: x - y + 1 = 0$:
   $$
   3 - 4 + 1 = 0
   $$
   Điều kiện thỏa mãn. Vậy tọa độ các đỉnh của hình vuông là chính xác.