Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, chiều cao bằng h = a√3. a) Tính độ dài đoạn A'C và chứng minh rằng A'C không vuông góc với mặt phẳng đáy. b) Gọi M là trung điểm của đoạ...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Tính độ dài đoạn \( A'C \) và chứng minh rằng \( A'C \) không vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính độ dài đoạn \( A'C \): - Tam giác \( ABC \) là tam giác đều cạnh \( a \), do đó \( AB = BC = CA = a \). - Chiều cao của lăng trụ là \( h = a\sqrt{3} \). - Điểm \( A' \) là điểm đối xứng của \( A \) qua mặt phẳng đáy, do đó \( A'A = h = a\sqrt{3} \). Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( A'AC \): \[ A'C = \sqrt{A'A^2 + AC^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \] Chứng minh rằng \( A'C \) không vuông góc với mặt phẳng đáy: - Để \( A'C \) vuông góc với mặt phẳng đáy \( (ABC) \), thì \( A'C \) phải vuông góc với hai đường thẳng không song song nằm trong mặt phẳng đó. - Tuy nhiên, \( A'C \) không vuông góc với \( AC \) (vì \( A'C \) là cạnh huyền của tam giác vuông \( A'AC \)), và cũng không vuông góc với \( AB \) hoặc \( BC \) vì không có lý do hình học nào cho điều đó. Do đó, \( A'C \) không vuông góc với mặt phẳng đáy \( (ABC) \). b) Gọi \( M \) là trung điểm của đoạn \( BB' \). Tính khoảng cách từ điểm \( M \) đến mặt phẳng \( (ACC') \). - \( M \) là trung điểm của \( BB' \), do đó \( M \) có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ \( B \) và \( B' \). - Giả sử \( B = (0, a, 0) \) và \( B' = (0, a, a\sqrt{3}) \), thì \( M = (0, a, \frac{a\sqrt{3}}{2}) \). Mặt phẳng \( (ACC') \) có phương trình dạng \( z = \frac{\sqrt{3}}{3}x \) (do \( C' \) có tọa độ \( (a, 0, a\sqrt{3}) \)). Khoảng cách từ điểm \( M(0, a, \frac{a\sqrt{3}}{2}) \) đến mặt phẳng \( (ACC') \) là: \[ d = \left| \frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 0 \right| = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] c) Tính góc giữa đường thẳng \( A'C \) và mặt phẳng đáy \( (ABC) \). - Góc giữa đường thẳng \( A'C \) và mặt phẳng \( (ABC) \) là góc giữa \( A'C \) và hình chiếu của nó lên mặt phẳng \( (ABC) \). - Hình chiếu của \( A'C \) lên mặt phẳng \( (ABC) \) là \( AC \). Sử dụng định lý cosin trong tam giác \( A'AC \): \[ \cos \theta = \frac{AC}{A'C} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \] Do đó, góc giữa \( A'C \) và mặt phẳng \( (ABC) \) là \( 60^\circ \). d) Gọi \( G \) là trọng tâm tam giác \( ABC \). Tính khoảng cách từ \( G \) đến mặt phẳng \( (A'B'C') \) và chứng minh rằng khoảng cách này bằng chiều cao của lăng trụ. - Trọng tâm \( G \) của tam giác đều \( ABC \) có tọa độ \( G = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, 0\right) \). Mặt phẳng \( (A'B'C') \) song song và cách đều mặt phẳng \( (ABC) \) một khoảng bằng chiều cao của lăng trụ, tức là \( a\sqrt{3} \). Do đó, khoảng cách từ \( G \) đến mặt phẳng \( (A'B'C') \) chính là chiều cao của lăng trụ, tức là \( a\sqrt{3} \). Vậy, khoảng cách từ \( G \) đến mặt phẳng \( (A'B'C') \) bằng chiều cao của lăng trụ.