Giúp mình với!

Câu 1: a) Ta có: \[2\cos x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi,~k \in \mathbb{Z}\] b) Ta có: \[\cos^2 x + 4 \sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow 1 - \sin^2 x + 4 \sin x - 1 = 0\] \[\Leftrightarrow -\sin^2 x + 4 \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x(-\sin x + 4) = 0\] \[\Leftrightarrow \sin x = 0 \text{ hoặc } -\sin x + 4 = 0\] \[\Leftrightarrow \sin x = 0 \text{ hoặc } \sin x = 4 (\text{loại})\] \[\Leftrightarrow x = k\pi,~k \in \mathbb{Z}\] Câu 2: a) Tập xác định của hàm số: Hàm số \( f(x) = 2 - \frac{4(1 + \cos x)}{3 + \sin x} \) xác định khi mẫu số khác 0, tức là \( 3 + \sin x \neq 0 \). Ta có \( \sin x \geq -1 \) và \( \sin x \leq 1 \). Do đó, \( 3 + \sin x \geq 2 > 0 \) luôn đúng với mọi \( x \). Vậy tập xác định của hàm số là \( D = \mathbb{R} \). b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Xét biểu thức \( y = 2 - \frac{4(1 + \cos x)}{3 + \sin x} \). Đặt \( t = \sin x \) và \( s = \cos x \). Ta có \( t^2 + s^2 = 1 \). Biến đổi biểu thức \( y \): \[ y = 2 - \frac{4(1 + s)}{3 + t} \] Xét \( \frac{4(1 + s)}{3 + t} \): \[ \frac{4(1 + s)}{3 + t} = \frac{4 + 4s}{3 + t} \] Do \( t^2 + s^2 = 1 \), ta có \( s = \sqrt{1 - t^2} \) hoặc \( s = -\sqrt{1 - t^2} \). Thay \( s = \sqrt{1 - t^2} \) vào biểu thức: \[ \frac{4 + 4\sqrt{1 - t^2}}{3 + t} \] Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \( \frac{4 + 4\sqrt{1 - t^2}}{3 + t} \) trong khoảng \( -1 \leq t \leq 1 \). Khi \( t = 0 \): \[ \frac{4 + 4\sqrt{1 - 0}}{3 + 0} = \frac{8}{3} \] Khi \( t = 1 \): \[ \frac{4 + 4\sqrt{1 - 1}}{3 + 1} = \frac{4}{4} = 1 \] Khi \( t = -1 \): \[ \frac{4 + 4\sqrt{1 - (-1)^2}}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 \] Vậy giá trị lớn nhất của \( \frac{4 + 4\sqrt{1 - t^2}}{3 + t} \) là \( \frac{8}{3} \) và giá trị nhỏ nhất là 1. Do đó, giá trị lớn nhất của \( y \) là: \[ y_{\text{max}} = 2 - 1 = 1 \] Giá trị nhỏ nhất của \( y \) là: \[ y_{\text{min}} = 2 - \frac{8}{3} = \frac{6}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{2}{3} \] Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi \( x = 0 \) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( -\frac{2}{3} \), đạt được khi \( x = \pi \). Câu 3: a) Gọi số cần tìm là $\overline{abcdefg}$ + Nếu $a$ lẻ thì $bcdefg$ tùy ý ta có $4\times 10^6$ số + Nếu $a$ chẵn thì $bcdefg$ phải chẵn ta có $4\times 5^6$ số Vậy có tất cả $4\times 10^6+4\times 5^6=4687500$ số b) Số cách chọn 4 em trong đó có đúng 2 em khối 12 là: $C_{12}^{2}\times C_{24}^{2}=12\times 11\times 12\times 11=17424$ cách Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tìm tọa độ \( A' \) là ảnh của \( A \) qua phép tịnh tiến theo véctơ \(\overrightarrow{v}(3;-2)\). Phép tịnh tiến theo véctơ \(\overrightarrow{v}(3;-2)\) sẽ biến điểm \( A(x;y) \) thành điểm \( A'(x';y') \) với: \[ x' = x + 3, \quad y' = y - 2 \] Áp dụng cho điểm \( A(1;2) \): \[ x' = 1 + 3 = 4, \quad y' = 2 - 2 = 0 \] Vậy tọa độ của \( A' \) là \( (4;0) \). b) Lập phương trình đường thẳng \( d' \) là ảnh của đường thẳng \( d \) qua phép tịnh tiến theo véctơ \(\overrightarrow{v}(3;-2)\). Đường thẳng \( d: x - 2y + 3 = 0 \). Phép tịnh tiến theo véctơ \(\overrightarrow{v}(3;-2)\) không làm thay đổi hướng của đường thẳng, chỉ làm thay đổi vị trí. Do đó, phương trình đường thẳng \( d' \) có dạng: \[ x - 2y + c = 0 \] Để tìm \( c \), ta chọn một điểm trên đường thẳng \( d \), tịnh tiến điểm đó và tìm \( c \) sao cho điểm mới nằm trên \( d' \). Chọn điểm \( M(0;1.5) \) trên \( d \) (vì \( 0 - 2 \times 1.5 + 3 = 0 \)). Tịnh tiến \( M(0;1.5) \) theo \(\overrightarrow{v}(3;-2)\) được \( M'(3;-0.5) \). Thay tọa độ \( M'(3;-0.5) \) vào phương trình \( x - 2y + c = 0 \): \[ 3 - 2(-0.5) + c = 0 \Rightarrow 3 + 1 + c = 0 \Rightarrow c = -4 \] Vậy phương trình đường thẳng \( d' \) là: \[ x - 2y - 4 = 0 \] c) Lập phương trình đường tròn \( (C') \) biết \( (C') \) là ảnh của đường tròn \( (C) \) qua phép vị tự tâm \( A \) tỉ số \(-2\). Phương trình đường tròn \( (C): x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 \). Đầu tiên, ta đưa phương trình về dạng chuẩn: \[ (x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 3 \] Hoàn thành bình phương: \[ (x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 3 \Rightarrow (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16 \] Vậy đường tròn \( (C) \) có tâm \( I(2;-3) \) và bán kính \( R = 4 \). Phép vị tự tâm \( A(1;2) \) tỉ số \(-2\) biến điểm \( I(2;-3) \) thành điểm \( I'(x';y') \) với: \[ x' = 1 - 2(2 - 1) = -1, \quad y' = 2 - 2(-3 - 2) = 12 \] Bán kính mới \( R' = |-2| \times 4 = 8 \). Vậy phương trình đường tròn \( (C') \) là: \[ (x + 1)^2 + (y - 12)^2 = 64 \] Tóm lại, các kết quả là: - Tọa độ \( A' \) là \( (4;0) \). - Phương trình đường thẳng \( d' \) là \( x - 2y - 4 = 0 \). - Phương trình đường tròn \( (C') \) là \( (x + 1)^2 + (y - 12)^2 = 64 \). Câu 5: Ta có: \[ \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{2018!} < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^{2017}}. \] Vì \(\frac{1}{k!} < \frac{1}{2^{k-1}}\) với mọi \(k \geq 2.\) Ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: \[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^{2017}} = \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{2018}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \left( 1 - \frac{1}{2^{2018}} \right) < 2. \] Do đó: \[ \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{2018!} < 2. \] Mặt khác, ta có: \[ \frac{4025}{2018} > 2. \] Vậy: \[ \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{2018!} < \frac{4025}{2018}. \]