Giúp mình với!

Câu 1: Phần a) \(2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) - \sqrt{3} = 0\) Bước 1: Chuyển vế để đơn giản hóa phương trình: \[2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\] Bước 2: Chia cả hai vế cho 2: \[\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\] Bước 3: Xác định các giá trị của góc mà sin bằng \(\frac{\sqrt{3}}{2}\): \[\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{3} + k2\pi \text{ hoặc } \theta = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\] Bước 4: Thay \(\theta\) bằng \(x - \frac{\pi}{6}\): \[x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + k2\pi \text{ hoặc } x - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + k2\pi\] Bước 5: Giải các phương trình trên: \[x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{3\pi}{6} + k2\pi = \frac{\pi}{2} + k2\pi\] \[x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{5\pi}{6} + k2\pi\] Vậy nghiệm của phương trình là: \[x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \text{ hoặc } x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\] Phần b) \(\sin x - \sqrt{3}\cos x = -\sqrt{2}\) Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng \(A\sin x + B\cos x = C\): \[\sin x - \sqrt{3}\cos x = -\sqrt{2}\] Bước 2: Tìm hằng số \(R\) sao cho \(R^2 = A^2 + B^2\): \[R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\] Bước 3: Chia cả hai vế cho \(R\): \[\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\] Bước 4: Đặt \(\cos \alpha = \frac{1}{2}\) và \(\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Ta có: \[\sin(x - \alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\] Bước 5: Xác định các giá trị của góc mà sin bằng \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\): \[\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies \theta = -\frac{\pi}{4} + k2\pi \text{ hoặc } \theta = \frac{5\pi}{4} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\] Bước 6: Thay \(\theta\) bằng \(x - \alpha\): \[x - \alpha = -\frac{\pi}{4} + k2\pi \text{ hoặc } x - \alpha = \frac{5\pi}{4} + k2\pi\] Bước 7: Giải các phương trình trên: \[x = -\frac{\pi}{4} + \alpha + k2\pi \text{ hoặc } x = \frac{5\pi}{4} + \alpha + k2\pi\] Với \(\alpha = \frac{\pi}{3}\): \[x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + k2\pi = \frac{-3\pi + 4\pi}{12} + k2\pi = \frac{\pi}{12} + k2\pi\] \[x = \frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + k2\pi = \frac{15\pi + 4\pi}{12} + k2\pi = \frac{19\pi}{12} + k2\pi\] Vậy nghiệm của phương trình là: \[x = \frac{\pi}{12} + k2\pi \text{ hoặc } x = \frac{19\pi}{12} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\] Câu 2: a) Gọi số cần tìm có dạng $\stackrel{-}{abcd},(0\le a,b,c,d\le 9,a\ne 0).$ Ta có: $a$ có 7 cách chọn. $b$ có 6 cách chọn. $c$ có 5 cách chọn. $d$ có 4 cách chọn. Vậy có tất cả $7!$ số thỏa mãn yêu cầu đề bài. b) Chọn 5 học sinh tham gia văn nghệ trong đó có ít nhất 3 học sinh nữ ta chia làm 3 trường hợp: - Trường hợp 1: Chọn 3 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Số cách chọn là: $C_{15}^{3}.C_{20}^{2}=377300$ cách. - Trường hợp 2: Chọn 4 học sinh nữ và 1 học sinh nam. Số cách chọn là: $C_{15}^{4}.C_{20}^{1}=13650$ cách. - Trường hợp 3: Chọn 5 học sinh nữ. Số cách chọn là: $C_{15}^{5}=3003$ cách. Vậy số cách chọn 5 học sinh tham gia văn nghệ trong đó có ít nhất 3 học sinh nữ là: $377300+13650+3003=393953$ cách. Câu 3: Bài 1: Phép tịnh tiến đường thẳng Cho đường thẳng \(d: x + y - 3 = 0\) và véc tơ \(\overrightarrow{v} = (2; -1)\). Phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow{v}\) sẽ biến điểm \(M(x_0, y_0)\) thành điểm \(M'(x_0 + 2, y_0 - 1)\). Để tìm phương trình đường thẳng \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép tịnh tiến, ta thực hiện như sau: 1. Chọn một điểm thuộc đường thẳng \(d\). Giả sử điểm \(A(3, 0)\) thuộc \(d\) vì \(3 + 0 - 3 = 0\). 2. Tịnh tiến điểm \(A\) theo véc tơ \(\overrightarrow{v}\) ta được điểm \(A'(5, -1)\). 3. Đường thẳng \(d'\) có cùng vectơ pháp tuyến với \(d\), tức là \((1, 1)\). 4. Phương trình đường thẳng \(d'\) có dạng: \(x + y + c = 0\). 5. Thay tọa độ điểm \(A'(5, -1)\) vào phương trình trên: \(5 - 1 + c = 0 \Rightarrow c = -4\). Vậy phương trình đường thẳng \(d'\) là: \[ x + y - 4 = 0. \] Bài 2: Tứ diện và giao điểm Cho tứ diện \(ABCD\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\), \(M\) là trung điểm \(CD\), \(I\) là điểm trên đoạn thẳng \(AG\). a) Giao tuyến của mặt phẳng \((ABG)\) với mặt phẳng \((ACD)\) 1. Xác định điểm chung: - \(A\) là điểm chung của cả hai mặt phẳng \((ABG)\) và \((ACD)\). 2. Xác định giao tuyến: - Gọi \(N\) là giao điểm của \(BG\) với mặt phẳng \((ACD)\). - Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\), nên \(BG\) cắt \(CD\) tại điểm \(N\) sao cho \(BN:NG = 2:1\). 3. Giao tuyến: - Giao tuyến của \((ABG)\) và \((ACD)\) là đường thẳng \(AN\). b) Giao điểm \(J\) của \(BI\) với mặt phẳng \((ACD)\) 1. Xác định điểm \(I\): - Giả sử \(I\) chia \(AG\) theo tỉ lệ \(AI:IG = k:1-k\). 2. Xác định điểm \(J\): - \(J\) là giao điểm của \(BI\) với mặt phẳng \((ACD)\). 3. Tính tỉ số \(AI:AG\): - Diện tích tam giác \(ACD\) bằng 2 lần diện tích tam giác \(JCD\). - Suy ra, \( \frac{S_{JCD}}{S_{ACD}} = \frac{1}{2} \). - Do đó, \( \frac{BJ}{BI} = \frac{1}{2} \). 4. Tỉ số \(AI:AG\): - Vì \(J\) nằm trên \(BI\), ta có \( \frac{AI}{AG} = \frac{1}{3} \). Vậy tỉ số \(AI:AG\) để diện tích tam giác \(ACD\) bằng 2 lần diện tích tam giác \(JCD\) là \(\frac{1}{3}\). Câu 4: Ta thấy rằng nếu một số chia hết cho 13 thì số đó cộng thêm hoặc trừ đi một bội số của 13 cũng chia hết cho 13. Ta sẽ xét các số có dạng $\overline{abcde2}$. Ta thấy rằng $\overline{abcde0}$ chia hết cho 13 khi và chỉ khi $\overline{abcde2}$ chia hết cho 13. Mặt khác, $\overline{abcde0}=10\times \overline{abcd}\times 100+e0$ chia hết cho 13 khi và chỉ khi $e0$ chia hết cho 13. Do đó, ta có $e=0$ hoặc $e=5.$ Vậy số các số thỏa mãn đề bài là $2\times 10^4=20000.$