Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a√2. a) Chứng minh rằng SA vuông góc mặt đáy và tính thể tích khối chóp. b) Gọi I là trung điểm CD. Tính khoảng cách từ I đến...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh rằng SA vuông góc với mặt đáy và tính thể tích khối chóp. - Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, do đó tâm O của hình vuông là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có $$. - Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều, nên SA = SB = SC = SD = a\sqrt{2}. - Ta cần chứng minh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Để làm điều này, ta chứng minh SA vuông góc với hai đường thẳng không song song nằm trong mặt phẳng (ABCD). - Xét tam giác SAC, ta có $$ và $$. Do đó, tam giác SAC là tam giác đều. - Trong tam giác đều, đường cao cũng là đường trung tuyến và đường phân giác. Do đó, SO là đường cao của tam giác SAC, suy ra SO vuông góc với AC. - Tương tự, xét tam giác SAB, ta có $$ và $$. Tam giác SAB là tam giác cân tại S. - Trong tam giác cân, đường cao từ đỉnh cũng là đường trung tuyến. Do đó, SO vuông góc với AB. - Vì SO vuông góc với cả AC và AB, hai đường thẳng không song song trong mặt phẳng (ABCD), nên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). - Thể tích khối chóp S.ABCD được tính bằng công thức: $$ Diện tích đáy ABCD là $$. Chiều cao của khối chóp là SO, với $$. Vậy thể tích khối chóp là: $$ b) Gọi I là trung điểm CD. Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SAB). - Vì I là trung điểm của CD, nên tọa độ của I là $$. - Mặt phẳng (SAB) có phương trình dạng $$. - Ta cần tìm khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB). Để làm điều này, ta cần xác định phương trình mặt phẳng (SAB). - Giả sử mặt phẳng (SAB) có phương trình $$ (vì SA vuông góc với mặt đáy). - Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SAB) là độ dài đoạn thẳng vuông góc từ I đến mặt phẳng này. Vì I nằm trên mặt phẳng đáy, nên khoảng cách này chính là độ dài đoạn thẳng từ I đến S, tức là $$. c) Chứng minh rằng tam giác SAB đều. - Ta đã biết SA = SB = a\sqrt{2}. - Xét tam giác SAB, ta có $$. - Để chứng minh tam giác SAB đều, ta cần chứng minh $$. - Tuy nhiên, từ điều kiện bài toán, ta chỉ có $$, do đó tam giác SAB không đều. Có thể có nhầm lẫn trong đề bài hoặc cần kiểm tra lại điều kiện. d) Tính góc giữa hai mặt bên (SAD) và (SBC), viết theo cosin hoặc độ. - Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng giao tuyến của chúng với mặt phẳng đáy (ABCD), tức là góc giữa AD và BC. - Vì AD và BC là hai cạnh đối diện của hình vuông ABCD, nên chúng vuông góc với nhau. - Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là 90 độ. Vậy, chúng ta đã giải quyết từng phần của bài toán.