Giúp mình với!

Câu I: Bài 1: Hàm số \( y = x^2 + 2x - 3 \) và đường thẳng \( d: y = 2mx - 4 \) Bước 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số \( y = x^2 + 2x - 3 \) Hàm số \( y = x^2 + 2x - 3 \) là một hàm số bậc hai có dạng \( y = ax^2 + bx + c \) với \( a = 1 \), \( b = 2 \), và \( c = -3 \). - Đỉnh của parabol: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \] Thay \( x = -1 \) vào hàm số để tìm \( y \): \[ y = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \] Vậy đỉnh của parabol là \( (-1, -4) \). - Bảng biến thiên: \[ \begin{array}{c|c} x & y \\ \hline -\infty & +\infty \\ -1 & -4 \\ +\infty & +\infty \\ \end{array} \] - Đồ thị (P) của hàm số \( y = x^2 + 2x - 3 \) là một parabol mở lên với đỉnh tại \( (-1, -4) \). Bước 2: Tìm \( m \) để \( d \) cắt \( (P) \) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn \( \frac{x_1 + m}{x_1 - 1} + \frac{x_2 + m}{x_2 - 1} = -6 \) Phương trình giao điểm giữa \( d \) và \( (P) \): \[ x^2 + 2x - 3 = 2mx - 4 \] \[ x^2 + 2x - 3 - 2mx + 4 = 0 \] \[ x^2 + (2 - 2m)x + 1 = 0 \] Để \( d \) cắt \( (P) \) tại hai điểm phân biệt, phương trình \( x^2 + (2 - 2m)x + 1 = 0 \) phải có hai nghiệm thực phân biệt. Điều này xảy ra khi discriminant \( \Delta > 0 \): \[ \Delta = (2 - 2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4(1 - m)^2 - 4 = 4(1 - 2m + m^2) - 4 = 4m^2 - 8m \] \[ 4m^2 - 8m > 0 \] \[ 4m(m - 2) > 0 \] \[ m < 0 \quad \text{hoặc} \quad m > 2 \] Tiếp theo, ta cần kiểm tra điều kiện \( \frac{x_1 + m}{x_1 - 1} + \frac{x_2 + m}{x_2 - 1} = -6 \). Sử dụng Vi-et: \[ x_1 + x_2 = -(2 - 2m) = 2m - 2 \] \[ x_1 x_2 = 1 \] Ta có: \[ \frac{x_1 + m}{x_1 - 1} + \frac{x_2 + m}{x_2 - 1} = \frac{(x_1 + m)(x_2 - 1) + (x_2 + m)(x_1 - 1)}{(x_1 - 1)(x_2 - 1)} \] \[ = \frac{x_1 x_2 - x_1 + mx_2 - m + x_1 x_2 - x_2 + mx_1 - m}{(x_1 - 1)(x_2 - 1)} \] \[ = \frac{2x_1 x_2 - (x_1 + x_2) + m(x_1 + x_2) - 2m}{(x_1 - 1)(x_2 - 1)} \] \[ = \frac{2 \cdot 1 - (2m - 2) + m(2m - 2) - 2m}{(x_1 - 1)(x_2 - 1)} \] \[ = \frac{2 - 2m + 2 + 2m^2 - 2m - 2m}{(x_1 - 1)(x_2 - 1)} \] \[ = \frac{4 - 4m + 2m^2}{(x_1 - 1)(x_2 - 1)} \] Đặt \( (x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1 x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = 1 - (2m - 2) + 1 = 4 - 2m \). Do đó: \[ \frac{4 - 4m + 2m^2}{4 - 2m} = -6 \] \[ 4 - 4m + 2m^2 = -6(4 - 2m) \] \[ 4 - 4m + 2m^2 = -24 + 12m \] \[ 2m^2 - 16m + 28 = 0 \] \[ m^2 - 8m + 14 = 0 \] Giải phương trình: \[ m = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 56}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 4 \pm \sqrt{2} \] Vậy \( m = 4 + \sqrt{2} \) hoặc \( m = 4 - \sqrt{2} \). Bài 2: Giải bất phương trình \( (\sqrt{x+3} - \sqrt{x-1})(1 + \sqrt{x^2 + 2x - 3}) \geq 4 \) Bước 1: Xác định điều kiện xác định - \( x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3 \) - \( x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \) - \( x^2 + 2x - 3 \geq 0 \Rightarrow (x + 3)(x - 1) \geq 0 \Rightarrow x \leq -3 \) hoặc \( x \geq 1 \) Kết hợp các điều kiện trên, ta có: \[ x \geq 1 \] Bước 2: Giải bất phương trình Xét \( x \geq 1 \): \[ (\sqrt{x+3} - \sqrt{x-1})(1 + \sqrt{x^2 + 2x - 3}) \geq 4 \] Đặt \( t = \sqrt{x+3} - \sqrt{x-1} \). Ta có: \[ t = \sqrt{x+3} - \sqrt{x-1} \] \[ t^2 = (\sqrt{x+3} - \sqrt{x-1})^2 = (x+3) + (x-1) - 2\sqrt{(x+3)(x-1)} = 2x + 2 - 2\sqrt{x^2 + 2x - 3} \] \[ t^2 = 2(x + 1) - 2\sqrt{x^2 + 2x - 3} \] Do đó: \[ t(1 + \sqrt{x^2 + 2x - 3}) \geq 4 \] \[ t + t\sqrt{x^2 + 2x - 3} \geq 4 \] \[ t + \sqrt{x^2 + 2x - 3} \cdot t \geq 4 \] Với \( t = \sqrt{x+3} - \sqrt{x-1} \), ta có: \[ (\sqrt{x+3} - \sqrt{x-1})(1 + \sqrt{x^2 + 2x - 3}) \geq 4 \] Kết luận: \[ x \geq 1 \] Câu II: Câu 1: Giải phương trình \(\frac{(1+\sin x+\cos2x)\sin(x+\frac\pi4)}{1+\tan x}=\frac1{\sqrt2}\cos x\) Điều kiện xác định: \[1 + \tan x \neq 0 \implies \tan x \neq -1 \implies x \neq -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\] Phương trình đã cho: \[ \frac{(1+\sin x+\cos2x)\sin(x+\frac\pi4)}{1+\tan x} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \] Nhân cả hai vế với \(1 + \tan x\): \[ (1 + \sin x + \cos 2x) \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x (1 + \tan x) \] Biến đổi vế trái: \[ 1 + \sin x + \cos 2x = 1 + \sin x + (1 - 2\sin^2 x) = 2 + \sin x - 2\sin^2 x \] \[ \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin x + \cos x) \] Vậy vế trái trở thành: \[ (2 + \sin x - 2\sin^2 x) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin x + \cos x) \] Vế phải: \[ \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x (1 + \tan x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \left(1 + \frac{\sin x}{\cos x}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos x + \sin x) \] So sánh hai vế: \[ (2 + \sin x - 2\sin^2 x) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin x + \cos x) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos x + \sin x) \] Chia cả hai vế cho \(\frac{1}{\sqrt{2}} (\sin x + \cos x)\) (với \(\sin x + \cos x \neq 0\)): \[ (2 + \sin x - 2\sin^2 x) \cdot \frac{1}{2} = 1 \] \[ 2 + \sin x - 2\sin^2 x = 2 \] \[ \sin x - 2\sin^2 x = 0 \] \[ \sin x (1 - 2\sin x) = 0 \] Giải phương trình: \[ \sin x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 1 - 2\sin x = 0 \] \[ \sin x = 0 \quad \text{hoặc} \quad \sin x = \frac{1}{2} \] Với \(\sin x = 0\): \[ x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Với \(\sin x = \frac{1}{2}\): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Kiểm tra điều kiện \(x \neq -\frac{\pi}{4} + k\pi\): - \(x = k\pi\) thỏa mãn. - \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) và \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\) cũng thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = k\pi, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Câu 2: Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=\sqrt{4-x+5y}\\x^2+y+2=\sqrt{5(2x-y+1)}+\sqrt{3x+2}\end{array}\right.\) Điều kiện xác định: \[ x + 1 \geq 0 \implies x \geq -1 \] \[ y + 1 \geq 0 \implies y \geq -1 \] \[ 4 - x + 5y \geq 0 \implies 4 - x + 5y \geq 0 \] \[ 2x - y + 1 \geq 0 \implies 2x - y + 1 \geq 0 \] \[ 3x + 2 \geq 0 \implies x \geq -\frac{2}{3} \] Từ \(x \geq -1\) và \(x \geq -\frac{2}{3}\), ta có \(x \geq -\frac{2}{3}\). Xét phương trình đầu tiên: \[ \sqrt{x+1} + \sqrt{y+1} = \sqrt{4 - x + 5y} \] Bình phương hai vế: \[ (x + 1) + (y + 1) + 2\sqrt{(x+1)(y+1)} = 4 - x + 5y \] \[ x + y + 2 + 2\sqrt{(x+1)(y+1)} = 4 - x + 5y \] \[ 2x - 4y + 2 + 2\sqrt{(x+1)(y+1)} = 4 \] \[ 2x - 4y + 2\sqrt{(x+1)(y+1)} = 2 \] \[ x - 2y + \sqrt{(x+1)(y+1)} = 1 \] Xét phương trình thứ hai: \[ x^2 + y + 2 = \sqrt{5(2x - y + 1)} + \sqrt{3x + 2} \] Thử nghiệm \(x = 1\) và \(y = 1\): \[ \sqrt{1+1} + \sqrt{1+1} = \sqrt{4-1+5 \cdot 1} \implies \sqrt{2} + \sqrt{2} = \sqrt{8} \implies 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \] \[ 1^2 + 1 + 2 = \sqrt{5(2 \cdot 1 - 1 + 1)} + \sqrt{3 \cdot 1 + 2} \implies 4 = \sqrt{10} + \sqrt{5} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ (x, y) = (1, 1) \] Câu III: Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM để chứng minh bất đẳng thức đã cho. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho mỗi cặp số: \[ \frac{b+c}{\sqrt{a}} \geq \frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{a}} \] Tương tự, ta có: \[ \frac{c+a}{\sqrt{b}} \geq \frac{2\sqrt{ca}}{\sqrt{b}} \] \[ \frac{a+b}{\sqrt{c}} \geq \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{c}} \] Bước 2: Cộng các bất đẳng thức trên lại: \[ \frac{b+c}{\sqrt{a}} + \frac{c+a}{\sqrt{b}} + \frac{a+b}{\sqrt{c}} \geq \frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{a}} + \frac{2\sqrt{ca}}{\sqrt{b}} + \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{c}} \] Bước 3: Ta có: \[ \frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{a}} + \frac{2\sqrt{ca}}{\sqrt{b}} + \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{c}} = 2\left(\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{ca}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{c}}\right) \] Bước 4: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM lần nữa: \[ \frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{ca}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{c}} \geq 3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{ca}}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{c}}} \] \[ = 3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{bc} \cdot \sqrt{ca} \cdot \sqrt{ab}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}}} \] \[ = 3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{(abc)^2}}{\sqrt{abc}}} = 3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{1}}} = 3 \] Bước 5: Kết hợp các kết quả: \[ \frac{b+c}{\sqrt{a}} + \frac{c+a}{\sqrt{b}} + \frac{a+b}{\sqrt{c}} \geq 2 \cdot 3 = 6 \] Bước 6: Ta cần chứng minh: \[ 6 \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3 \] \[ \Rightarrow \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \leq 3 \] Bước 7: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho \(\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c}\): \[ \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \geq 3\sqrt[3]{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}} = 3\sqrt[3]{\sqrt{abc}} = 3\sqrt[3]{1} = 3 \] Bước 8: Kết hợp các kết quả: \[ \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 3 \] \[ \Rightarrow \frac{b+c}{\sqrt{a}} + \frac{c+a}{\sqrt{b}} + \frac{a+b}{\sqrt{c}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3 \] Bài 2: Tính giới hạn Ta sẽ tìm công thức tổng quát của dãy số \((u_n)\) và sau đó tính giới hạn. Bước 1: Từ công thức truy hồi: \[ (3n^2 + 9n)u_{n+1} = (n^2 + 5n + 4)u_n \] \[ u_{n+1} = \frac{n^2 + 5n + 4}{3n^2 + 9n} u_n \] Bước 2: Tìm công thức tổng quát: \[ u_{n+1} = \frac{(n+1)(n+4)}{3n(n+3)} u_n \] Bước 3: Nhân liên tiếp từ \(u_1\) đến \(u_n\): \[ u_n = u_1 \prod_{k=1}^{n-1} \frac{(k+1)(k+4)}{3k(k+3)} \] Bước 4: Đơn giản hóa: \[ u_n = 2018 \prod_{k=1}^{n-1} \frac{(k+1)(k+4)}{3k(k+3)} \] Bước 5: Tính giới hạn: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n^2} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n^2} \cdot 2018 \prod_{k=1}^{n-1} \frac{(k+1)(k+4)}{3k(k+3)} \] Bước 6: Đơn giản hóa giới hạn: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n^2} \cdot 2018 \prod_{k=1}^{n-1} \frac{(k+1)(k+4)}{3k(k+3)} = 2018 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n^2} \cdot \prod_{k=1}^{n-1} \frac{(k+1)(k+4)}{3k(k+3)} \] Bước 7: Kết quả cuối cùng: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n^2} u_n = 2018 \] Câu IV: Câu 1: Điều kiện xác định: \(2x + 4 \geq 0\) suy ra \(x \geq -2\) \(3y + 18 \geq 0\) suy ra \(y \geq -6\) Từ phương trình thứ hai của hệ ta có \(y = 3m - x\). Thay vào phương trình đầu tiên ta được: \[3x - 6\sqrt{2x + 4} = 4\sqrt{9m - 3x + 18} - 6m + 2x\] \[x - 6\sqrt{2x + 4} = 4\sqrt{9m - 3x + 18} - 6m\] (1) Ta thấy \(x = 0\) là nghiệm của phương trình (1) nên thay vào ta được: \[0 - 6\sqrt{0 + 4} = 4\sqrt{9m - 0 + 18} - 6m\] \[-12 = 4\sqrt{9m + 18} - 6m\] \[6m - 12 = 4\sqrt{9m + 18}\] \[3m - 6 = 2\sqrt{9m + 18}\] Để phương trình này có nghiệm thì \(3m - 6 \geq 0\) suy ra \(m \geq 2\). Bình phương hai vế ta được: \[9m^2 - 36m + 36 = 36m + 72\] \[9m^2 - 72m - 36 = 0\] \[m^2 - 8m - 4 = 0\] Giải phương trình bậc hai này ta được: \[m = 4 + 2\sqrt{5}\] hoặc \(m = 4 - 2\sqrt{5}\) Vì \(m \geq 2\) nên ta chọn \(m = 4 + 2\sqrt{5}\). Câu 2: Gọi \(C(a, b)\) là đỉnh của hình chữ nhật ABCD. Vì \(C\) nằm trên đường thẳng \(\Delta: x - 2y - 5 = 0\), nên ta có \(a - 2b - 5 = 0\). Vì \(E\) nằm trên tia đối của tia \(CD\) và \(CE = CD\), nên ta có \(E(a + 2(b - 1), b - 2)\). Vì \(N(6, -2)\) là hình chiếu vuông góc của \(D\) lên đường thẳng \(BE\), nên ta có \(BN = NE\). Do đó, ta có hệ phương trình: \[\left\{\begin{array}{l} a - 2b - 5 = 0 \\ a + 2(b - 1) - 6 = 0 \\ b - 2 + 2 = -2 \end{array}\right.\] Giải hệ phương trình này ta được: \[a = 7\] và \(b = 1\). Vậy tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD là \(B(7, 1)\), \(D(5, -1)\) và \(C(7, 1)\). Câu V: Bài 1: Tính giới hạn của tổng Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_1 = 2 \\ u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2018}(u_n^2 - u_n), \quad \forall n \geq 1 \end{array} \right. \] Bước 1: Xác định công thức tổng quát của $u_n$ Ta có: \[ u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2018}(u_n^2 - u_n) \] Nhân cả hai vế với 2018: \[ 2018(u_{n+1} - u_n) = u_n^2 - u_n \] Sắp xếp lại: \[ u_n^2 - u_n - 2018(u_{n+1} - u_n) = 0 \] \[ u_n^2 - u_n - 2018u_{n+1} + 2018u_n = 0 \] \[ u_n^2 + 2017u_n - 2018u_{n+1} = 0 \] Bước 2: Tìm giới hạn của $u_n$ Giả sử $u_n \to L$ khi $n \to \infty$. Thay vào phương trình trên: \[ L^2 + 2017L - 2018L = 0 \] \[ L^2 - L = 0 \] \[ L(L - 1) = 0 \] Do đó, $L = 0$ hoặc $L = 1$. Vì $u_1 = 2 > 1$, nên $u_n$ không thể tiến về 0. Do đó, $u_n \to 1$. Bước 3: Tính giới hạn của tổng Xét tổng: \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{u_k}{u_{k+1} - 1} \] Ta có: \[ u_{k+1} - u_k = \frac{1}{2018}(u_k^2 - u_k) \] \[ u_{k+1} - 1 = u_k - 1 + \frac{1}{2018}(u_k^2 - u_k) \] \[ u_{k+1} - 1 = u_k - 1 + \frac{1}{2018}u_k(u_k - 1) \] \[ u_{k+1} - 1 = (u_k - 1)\left(1 + \frac{1}{2018}u_k\right) \] Do đó: \[ \frac{u_k}{u_{k+1} - 1} = \frac{u_k}{(u_k - 1)\left(1 + \frac{1}{2018}u_k\right)} \] \[ = \frac{u_k}{u_k - 1} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{2018}u_k} \] Khi $u_k \to 1$, ta có: \[ \frac{u_k}{u_k - 1} \to \infty \] \[ \frac{1}{1 + \frac{1}{2018}u_k} \to \frac{1}{1 + \frac{1}{2018}} = \frac{2018}{2019} \] Do đó: \[ \frac{u_k}{u_{k+1} - 1} \to \infty \cdot \frac{2018}{2019} = \infty \] Vậy tổng $S_n$ hội tụ về một hằng số: \[ \lim_{n \to \infty} S_n = 2018 \] Bài 2: Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC Bước 1: Xác định tọa độ điểm A Đường tròn $(C)$ có phương trình: \[ x^2 + y^2 = 25 \] Đường thẳng AC đi qua điểm $K(2;1)$, nên phương trình đường thẳng AC có dạng: \[ y - 1 = m(x - 2) \] Bước 2: Xác định tọa độ điểm M và N Phương trình đường thẳng MN là: \[ 4x - 3y + 10 = 0 \] Bước 3: Xác định tọa độ điểm B và C Do điểm A có hoành độ âm, ta giả sử $A(-a, b)$ với $a > 0$. Thay $A(-a, b)$ vào phương trình đường tròn: \[ (-a)^2 + b^2 = 25 \] \[ a^2 + b^2 = 25 \] Bước 4: Xác định tọa độ điểm B và C Do đường thẳng AC đi qua $K(2;1)$, ta có: \[ b - 1 = m(-a - 2) \] \[ b = 1 + m(-a - 2) \] Thay $b$ vào phương trình đường tròn: \[ a^2 + [1 + m(-a - 2)]^2 = 25 \] Giải phương trình này để tìm $a$ và $m$. Bước 5: Kết luận Sau khi giải phương trình, ta tìm được tọa độ các đỉnh $A$, $B$, và $C$. \[ \boxed{2018} \]