Lấy tử chia mẫu $c.~y=\frac{x^2-6x+8}{2-x}$

Question

Mai Quỳnh Anh · Accepted Answer

Giải phương trình vi phân:

$$ dy = \frac{x^2 - 8x + 6}{x + 6} dx $$

Thực hiện phép chia đa thức:

$$\frac{x^2 - 8x + 6}{x + 6} = x - 14 + \frac{90}{x + 6}$$

Tích phân hai vế:

$$y = \int \left( x - 14 + \frac{90}{x + 6} \right) dx = \frac{x^2}{2} - 14x + 90 \ln|x + 6| + C

$$

Kết quả: $$y = \frac{x^2}{2} - 14x + 90 \ln|x + 6| + C$$

Trong đó, $ C $ là hằng số tích phân.

Timi · Answer

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $ y = \frac{x^2 - 6x + 8}{2 - x} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm ĐKXĐ:
   Hàm số $ y = \frac{x^2 - 6x + 8}{2 - x} $ có mẫu số là $ 2 - x $. Để hàm số xác định, mẫu số phải khác 0:
   $$
   2 - x \neq 0 \implies x \neq 2
   $$
   Vậy, ĐKXĐ là $ x \neq 2 $.

2. Rút gọn hàm số:
   Ta có:
   $$
   y = \frac{x^2 - 6x + 8}{2 - x}
   $$
   Ta có thể phân tích tử số thành nhân tử:
   $$
   x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)
   $$
   Do đó:
   $$
   y = \frac{(x - 2)(x - 4)}{2 - x} = \frac{(x - 2)(x - 4)}{-(x - 2)} = -(x - 4) = -x + 4 \quad \text{(với $ x \neq 2 $)}
   $$

3. Xác định GTLN và GTNN:
   Hàm số đã rút gọn là $ y = -x + 4 $, đây là một hàm tuyến tính giảm dần. Vì vậy, hàm này không có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên toàn bộ miền xác định $ x \neq 2 $.

Tuy nhiên, nếu xét trong khoảng nào đó, ví dụ từ $ x = -\infty $ đến $ x = 2 $ và từ $ x = 2 $ đến $ x = +\infty $, thì:
   - Khi $ x \to -\infty $, $ y \to +\infty $.
   - Khi $ x \to 2^- $, $ y \to 2 $.
   - Khi $ x \to 2^+ $, $ y \to 2 $.
   - Khi $ x \to +\infty $, $ y \to -\infty $.

Do đó, hàm số $ y = -x + 4 $ không có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên toàn bộ miền xác định $ x \neq 2 $.

Kết luận:
Hàm số $ y = \frac{x^2 - 6x + 8}{2 - x} $ không có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên toàn bộ miền xác định $ x \neq 2 $.