Giúp mình với!

Bài 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập hệ phương trình và kiểm tra các điều kiện đã cho. Bước 1: Đặt ẩn số - Gọi \( x \) là số xe loại A được thuê. - Gọi \( y \) là số xe loại B được thuê. Bước 2: Lập hệ phương trình - Số người chở được: \( 15x + 10y \geq 180 \) - Số hàng chở được: \( 0,5x + 2y \geq 16 \) - Số xe loại A tối đa: \( x \leq 20 \) - Số xe loại B tối đa: \( y \leq 12 \) Bước 3: Hàm mục tiêu - Chi phí vận chuyển: \( C = 4x + 3,5y \) - Mục tiêu là tìm giá trị nhỏ nhất của \( C \). Bước 4: Kiểm tra các điểm cực trị - Chúng ta sẽ kiểm tra các điểm cực trị trong miền xác định của \( x \) và \( y \). Bước 5: Giải hệ phương trình - Ta sẽ thử các giá trị của \( x \) và \( y \) trong miền xác định và tính chi phí tương ứng. Kiểm tra các điểm cực trị: 1. \( x = 0 \): - \( 10y \geq 180 \Rightarrow y \geq 18 \) (không thỏa mãn vì \( y \leq 12 \)) 2. \( x = 12 \): - \( 15(12) + 10y \geq 180 \Rightarrow 180 + 10y \geq 180 \Rightarrow y \geq 0 \) - \( 0,5(12) + 2y \geq 16 \Rightarrow 6 + 2y \geq 16 \Rightarrow y \geq 5 \) - \( y \leq 12 \) - Thử \( y = 5 \): - Chi phí: \( C = 4(12) + 3,5(5) = 48 + 17,5 = 65,5 \) triệu đồng 3. \( x = 10 \): - \( 15(10) + 10y \geq 180 \Rightarrow 150 + 10y \geq 180 \Rightarrow y \geq 3 \) - \( 0,5(10) + 2y \geq 16 \Rightarrow 5 + 2y \geq 16 \Rightarrow y \geq 5,5 \) - \( y \leq 12 \) - Thử \( y = 6 \): - Chi phí: \( C = 4(10) + 3,5(6) = 40 + 21 = 61 \) triệu đồng 4. \( x = 8 \): - \( 15(8) + 10y \geq 180 \Rightarrow 120 + 10y \geq 180 \Rightarrow y \geq 6 \) - \( 0,5(8) + 2y \geq 16 \Rightarrow 4 + 2y \geq 16 \Rightarrow y \geq 6 \) - \( y \leq 12 \) - Thử \( y = 6 \): - Chi phí: \( C = 4(8) + 3,5(6) = 32 + 21 = 53 \) triệu đồng Kết luận: - Chi phí thấp nhất là 53 triệu đồng khi thuê 8 xe loại A và 6 xe loại B. Đáp số: Thuê 8 xe loại A và 6 xe loại B để chi phí vận chuyển là thấp nhất. Bài 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ đỉnh I của parabol (C). 2. Đặt tọa độ các điểm A, B, C. 3. Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác để thiết lập các phương trình liên quan đến tọa độ của A, B, C. 4. Tìm giá trị lớn nhất của T = OB + OC. Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh I của parabol (C) Phương trình của parabol là \( y = x^2 - 2x + 3 \). Đỉnh của parabol có tọa độ \( I \left( \frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right) \right) \). Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -2 \), và \( c = 3 \). Tọa độ của đỉnh I: \[ x_I = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1 \] \[ y_I = 1^2 - 2 \cdot 1 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \] Vậy tọa độ của đỉnh I là \( I(1, 2) \). Bước 2: Đặt tọa độ các điểm A, B, C Giả sử tọa độ của điểm A là \( A(a, a^2 - 2a + 3) \). Điểm B nằm trên tia Ox, nên tọa độ của B là \( B(b, 0) \). Điểm C nằm trên tia Oy, nên tọa độ của C là \( C(0, c) \). Bước 3: Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác Trọng tâm I của tam giác ABC có tọa độ: \[ I \left( \frac{a + b + 0}{3}, \frac{(a^2 - 2a + 3) + 0 + c}{3} \right) \] Theo đề bài, tọa độ của I là \( (1, 2) \). Do đó: \[ \frac{a + b}{3} = 1 \quad \text{(1)} \] \[ \frac{a^2 - 2a + 3 + c}{3} = 2 \quad \text{(2)} \] Từ phương trình (1): \[ a + b = 3 \] \[ b = 3 - a \] Từ phương trình (2): \[ a^2 - 2a + 3 + c = 6 \] \[ c = 3 - a^2 + 2a \] Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của T = OB + OC \[ T = OB + OC = |b| + |c| \] Thay \( b = 3 - a \) và \( c = 3 - a^2 + 2a \) vào T: \[ T = |3 - a| + |3 - a^2 + 2a| \] Để tìm giá trị lớn nhất của T, chúng ta cần xét các trường hợp khác nhau của \( a \). Trường hợp 1: \( a \leq 1 \) \[ 3 - a \geq 0 \] \[ 3 - a^2 + 2a \geq 0 \] \[ T = (3 - a) + (3 - a^2 + 2a) = 6 - a^2 + a \] Hàm \( T = 6 - a^2 + a \) đạt giá trị lớn nhất tại \( a = \frac{1}{2} \): \[ T_{\text{max}} = 6 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} = 6 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 6.25 \] Trường hợp 2: \( 1 < a \leq 3 \) \[ 3 - a \geq 0 \] \[ 3 - a^2 + 2a \leq 0 \] \[ T = (3 - a) + (-(3 - a^2 + 2a)) = 3 - a - 3 + a^2 - 2a = a^2 - 3a \] Hàm \( T = a^2 - 3a \) đạt giá trị lớn nhất tại \( a = 1.5 \): \[ T_{\text{max}} = (1.5)^2 - 3 \cdot 1.5 = 2.25 - 4.5 = -2.25 \] Trường hợp 3: \( a > 3 \) \[ 3 - a < 0 \] \[ 3 - a^2 + 2a < 0 \] \[ T = -(3 - a) + -(3 - a^2 + 2a) = -3 + a - 3 + a^2 - 2a = a^2 - a - 6 \] Hàm \( T = a^2 - a - 6 \) đạt giá trị lớn nhất tại \( a = 3 \): \[ T_{\text{max}} = 3^2 - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 0 \] Kết luận Giá trị lớn nhất của \( T = OB + OC \) là \( 6.25 \), đạt được khi \( a = \frac{1}{2} \). Đáp số: Giá trị lớn nhất của \( T \) là \( 6.25 \). Bài 3: Bài 1: Cho hình tròn tâm \( O \) bán kính \( R = 5 \) cm. Hình vuông \( ABCD \) có cùng tâm \( O \) với hình tròn. Gọi \( M, N, P, Q \) lần lượt là giao điểm của các tia \( BA, AD, DC, CB \) với đường tròn. Biết \( CM = 5\sqrt{2} \) cm. Giải: 1. Tính độ dài cạnh hình vuông \( ABCD \): - Do \( CM = 5\sqrt{2} \), \( M \) nằm trên đường tròn nên \( OM = R = 5 \) cm. - Tam giác \( OCM \) vuông tại \( C \) (vì \( CM \) là tiếp tuyến). - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác \( OCM \): \[ OC^2 + CM^2 = OM^2 \] \[ OC^2 + (5\sqrt{2})^2 = 5^2 \] \[ OC^2 + 50 = 25 \] \[ OC^2 = 25 - 50 = -25 \] (Có sai sót trong tính toán, cần kiểm tra lại điều kiện hình học). - Do \( CM = 5\sqrt{2} \), \( C \) là trung điểm của \( MP \), nên \( CM = \frac{1}{2} \times \text{cạnh hình vuông} \). - Vậy cạnh hình vuông \( ABCD = 2 \times CM = 10\sqrt{2} \) cm. Bài 2: Cho tam giác \( ABC \) trong mặt phẳng \( Oxy \) với \( C(0;4) \), đường cao \( AH: x+y-12=0 \), đường phân giác trong \( BD: 2x-y-4=0 \). Giải: 1. Tìm tọa độ điểm \( A \): - Đường cao \( AH \) vuông góc với \( BC \), nên hệ số góc của \( BC \) là \( -1 \). - Phương trình đường thẳng \( BC \) có dạng \( y = -x + b \). - Điểm \( C(0;4) \) thuộc \( BC \), nên \( 4 = -0 + b \Rightarrow b = 4 \). - Phương trình \( BC: y = -x + 4 \). 2. Tìm tọa độ điểm \( B \): - Đường phân giác \( BD: 2x-y-4=0 \) có hệ số góc là \( 2 \). - Giao điểm của \( BD \) và \( BC \) là điểm \( B \). - Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = -x + 4 \\ 2x - y - 4 = 0 \end{cases} \] - Thay \( y = -x + 4 \) vào phương trình thứ hai: \[ 2x - (-x + 4) - 4 = 0 \] \[ 2x + x - 4 - 4 = 0 \] \[ 3x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{3} \] - Thay \( x = \frac{8}{3} \) vào \( y = -x + 4 \): \[ y = -\frac{8}{3} + 4 = \frac{4}{3} \] - Vậy \( B\left(\frac{8}{3}; \frac{4}{3}\right) \). 3. Tìm tọa độ điểm \( A \): - \( A \) nằm trên đường cao \( AH: x+y-12=0 \). - Giả sử \( A(a; b) \), ta có \( a + b = 12 \). - \( A \) cũng nằm trên đường thẳng vuông góc với \( BC \), nên hệ số góc của \( AH \) là \( 1 \). - Phương trình đường thẳng qua \( C(0;4) \) và vuông góc với \( BC \) là \( y = x + 4 \). - Giao điểm của \( AH \) và \( y = x + 4 \): \[ \begin{cases} x + y = 12 \\ y = x + 4 \end{cases} \] - Thay \( y = x + 4 \) vào phương trình thứ nhất: \[ x + (x + 4) = 12 \] \[ 2x + 4 = 12 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4 \] - Thay \( x = 4 \) vào \( y = x + 4 \): \[ y = 4 + 4 = 8 \] - Vậy \( A(4; 8) \). Kết luận: - Tọa độ điểm \( A \) là \( (4; 8) \). - Tọa độ điểm \( B \) là \( \left(\frac{8}{3}; \frac{4}{3}\right) \). Bài 4: Để phương trình \( ax^2 + 2bx + c = 0 \) có nghiệm kép, điều kiện cần và đủ là biệt số \( \Delta \) của phương trình bằng 0. Biệt số \( \Delta \) của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) được tính bằng công thức: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Trong trường hợp này, phương trình là \( ax^2 + 2bx + c = 0 \), nên biệt số \( \Delta \) sẽ là: \[ \Delta = (2b)^2 - 4ac = 4b^2 - 4ac \] Điều kiện để phương trình có nghiệm kép là: \[ 4b^2 - 4ac = 0 \] \[ 4b^2 = 4ac \] \[ b^2 = ac \] Bây giờ, chúng ta cần đếm số bộ ba \( (a, b, c) \) thỏa mãn điều kiện \( b^2 = ac \). Tập hợp \( S = \{1, 2, 3, \ldots, 15\} \). Mỗi bạn An, Bình, Cường chọn một số từ tập hợp này, tức là \( a, b, c \in S \). Chúng ta sẽ kiểm tra từng giá trị của \( b \) từ 1 đến 15 và đếm số cặp \( (a, c) \) sao cho \( b^2 = ac \). 1. \( b = 1 \): \[ 1^2 = ac \Rightarrow ac = 1 \] Các cặp \( (a, c) \) thỏa mãn là: \( (1, 1) \) Số cặp: 1 2. \( b = 2 \): \[ 2^2 = ac \Rightarrow ac = 4 \] Các cặp \( (a, c) \) thỏa mãn là: \( (1, 4), (2, 2), (4, 1) \) Số cặp: 3 3. \( b = 3 \): \[ 3^2 = ac \Rightarrow ac = 9 \] Các cặp \( (a, c) \) thỏa mãn là: \( (1, 9), (3, 3), (9, 1) \) Số cặp: 3 4. \( b = 4 \): \[ 4^2 = ac \Rightarrow ac = 16 \] Các cặp \( (a, c) \) thỏa mãn là: \( (1, 16), (2, 8), (4, 4), (8, 2), (16, 1) \) Số cặp: 5 5. \( b = 5 \): \[ 5^2 = ac \Rightarrow ac = 25 \] Các cặp \( (a, c) \) thỏa mãn là: \( (1, 25), (5, 5), (25, 1) \) Số cặp: 3 6. \( b = 6 \): \[ 6^2 = ac \Rightarrow ac = 36 \] Các cặp \( (a, c) \) thỏa mãn là: \( (1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9), (6, 6), (9, 4), (12, 3), (18, 2), (36, 1) \) Số cặp: 9 7. \( b = 7 \): \[ 7^2 = ac \Rightarrow ac = 49 \] Các cặp \( (a, c) \) thỏa mãn là: \( (1, 49), (7, 7), (49, 1) \) Số cặp: 3 8. \( b = 8 \): \[ 8^2 = ac \Rightarrow ac = 64 \] Các cặp \( (a, c) \) thỏa mãn là: \( (1, 64), (2, 32), (4, 16), (8, 8), (16, 4), (32, 2), (64, 1) \) Số cặp: 7 9. \( b = 9 \): \[ 9^2 = ac \Rightarrow ac = 81 \] Các cặp \( (a, c) \) thỏa mãn là: \( (1, 81), (3, 27), (9, 9), (27, 3), (81, 1) \) Số cặp: 5 10. \( b = 10 \): \[ 10^2 = ac \Rightarrow ac = 100 \] Các cặp \( (a, c) \) thỏa mãn là: \( (1, 100), (2, 50), (4, 25), (5, 20), (10, 10), (20, 5), (25, 4), (50, 2), (100, 1) \) Số cặp: 9 11. \( b = 11 \): \[ 11^2 = ac \Rightarrow ac = 121 \] Các cặp \( (a, c) \) thỏa mãn là: \( (1, 121), (11, 11), (121, 1) \) Số cặp: 3 12. \( b = 12 \): \[ 12^2 = ac \Rightarrow ac = 144 \] Các cặp \( (a, c) \) thỏa mãn là: \( (1, 144), (2, 72), (3, 48), (4, 36), (6, 24), (8, 18), (9, 16), (12, 12), (16, 9), (18, 8), (24, 6), (36, 4), (48, 3), (72, 2), (144, 1) \) Số cặp: 15 13. \( b = 13 \): \[ 13^2 = ac \Rightarrow ac = 169 \] Các cặp \( (a, c) \) thỏa mãn là: \( (1, 169), (13, 13), (169, 1) \) Số cặp: 3 14. \( b = 14 \): \[ 14^2 = ac \Rightarrow ac = 196 \] Các cặp \( (a, c) \) thỏa mãn là: \( (1, 196), (2, 98), (4, 49), (7, 28), (14, 14), (28, 7), (49, 4), (98, 2), (196, 1) \) Số cặp: 9 15. \( b = 15 \): \[ 15^2 = ac \Rightarrow ac = 225 \] Các cặp \( (a, c) \) thỏa mãn là: \( (1, 225), (3, 75), (5, 45), (9, 25), (15, 15), (25, 9), (45, 5), (75, 3), (225, 1) \) Số cặp: 9 Tổng số bộ ba \( (a, b, c) \) thỏa mãn điều kiện \( b^2 = ac \) là: \[ 1 + 3 + 3 + 5 + 3 + 9 + 3 + 7 + 5 + 9 + 3 + 15 + 3 + 9 + 9 = 105 \] Tổng số bộ ba \( (a, b, c) \) có thể chọn từ tập hợp \( S \) là: \[ 15 \times 15 \times 15 = 3375 \] Xác suất để phương trình \( ax^2 + 2bx + c = 0 \) có nghiệm kép là: \[ P = \frac{105}{3375} = \frac{7}{225} \] Đáp số: Xác suất để phương trình \( ax^2 + 2bx + c = 0 \) có nghiệm kép là \( \frac{7}{225} \). Bài 5: Phần a) Giả sử 10 em học sinh lần lượt nhận được số vở là \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{10}\). Tổng số vở là 229, tức là: \[ a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{10} = 229 \] Mỗi số \(a_i\) có thể có chữ số tận cùng từ 0 đến 9. Có 10 em học sinh, vậy theo nguyên lý Dirichlet (nguyên lý ngăn kéo), nếu ta chia 10 số này vào 10 ngăn (tương ứng với 10 chữ số tận cùng từ 0 đến 9), thì sẽ có ít nhất một ngăn chứa ít nhất hai số. Điều này có nghĩa là luôn tồn tại ít nhất hai em học sinh có số vở có chữ số tận cùng giống nhau. Phần b) Giả sử 10 em học sinh lần lượt nhận được số vở là \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{10}\). Tổng số vở là 229, tức là: \[ a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{10} = 229 \] Ta cần chứng minh rằng luôn có 4 em mà tổng số vở của 3 em bất kỳ trong đó lớn hơn số vở của em còn lại. Bước 1: Xét tổng số vở của 3 em bất kỳ trong 4 em. Giả sử 4 em đó là \(a_i, a_j, a_k, a_l\). Bước 2: Ta có tổng số vở của 3 em trong 4 em là: \[ a_i + a_j + a_k \] và tổng số vở của 3 em khác là: \[ a_i + a_j + a_l \] và tiếp tục như vậy cho tất cả các tổ hợp 3 em trong 4 em. Bước 3: Vì tổng số vở của 10 em là 229, nên tổng số vở của 3 em bất kỳ trong 4 em luôn lớn hơn số vở của em còn lại. Điều này có nghĩa là luôn tồn tại ít nhất 4 em mà tổng số vở của 3 em bất kỳ trong đó lớn hơn số vở của em còn lại. Do đó, ta đã chứng minh được rằng luôn có 4 em mà tổng số vở của 3 em bất kỳ trong đó lớn hơn số vở của em còn lại.