Giúp mình với!

Câu 1: Điều kiện xác định: \[ 3x + 1 \geq 0 \] \[ 4x - 3 \geq 0 \] \[ 5x + 4 \geq 0 \] Từ các bất đẳng thức trên, ta có: \[ 3x + 1 \geq 0 \implies x \geq -\frac{1}{3} \] \[ 4x - 3 \geq 0 \implies x \geq \frac{3}{4} \] \[ 5x + 4 \geq 0 \implies x \geq -\frac{4}{5} \] Do đó, điều kiện xác định của phương trình là: \[ x \geq \frac{3}{4} \] Bây giờ, ta sẽ giải phương trình: \[ \sqrt{3x+1} + \sqrt{4x-3} = \sqrt{5x+4} \] Bình phương hai vế của phương trình: \[ (\sqrt{3x+1} + \sqrt{4x-3})^2 = (\sqrt{5x+4})^2 \] \[ 3x + 1 + 2\sqrt{(3x+1)(4x-3)} + 4x - 3 = 5x + 4 \] \[ 7x - 2 + 2\sqrt{(3x+1)(4x-3)} = 5x + 4 \] Chuyển \(5x + 4\) sang vế trái: \[ 7x - 2 + 2\sqrt{(3x+1)(4x-3)} - 5x - 4 = 0 \] \[ 2x - 6 + 2\sqrt{(3x+1)(4x-3)} = 0 \] Chuyển \(2x - 6\) sang vế phải: \[ 2\sqrt{(3x+1)(4x-3)} = 6 - 2x \] Chia cả hai vế cho 2: \[ \sqrt{(3x+1)(4x-3)} = 3 - x \] Bình phương hai vế: \[ (3x+1)(4x-3) = (3-x)^2 \] \[ 12x^2 - 9x + 4x - 3 = 9 - 6x + x^2 \] \[ 12x^2 - 5x - 3 = 9 - 6x + x^2 \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 12x^2 - 5x - 3 - 9 + 6x - x^2 = 0 \] \[ 11x^2 + x - 12 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \(a = 11\), \(b = 1\), và \(c = -12\): \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-12)}}{2 \cdot 11} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 528}}{22} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{529}}{22} \] \[ x = \frac{-1 \pm 23}{22} \] Ta có hai nghiệm: \[ x = \frac{-1 + 23}{22} = \frac{22}{22} = 1 \] \[ x = \frac{-1 - 23}{22} = \frac{-24}{22} = -\frac{12}{11} \] Kiểm tra điều kiện xác định \(x \geq \frac{3}{4}\): \[ x = 1 \] thỏa mãn điều kiện. \[ x = -\frac{12}{11} \] không thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 1 \] Câu 2: Để đường thẳng $d: y = (2 - 2m)x + m$ cắt đồ thị $(P): y = x^2 + 2x + 2$ tại hai điểm $A(x_1; y_1)$ và $B(x_2; y_2)$, ta cần giải phương trình: \[ x^2 + 2x + 2 = (2 - 2m)x + m \] Sắp xếp lại phương trình này, ta có: \[ x^2 + 2x + 2 - (2 - 2m)x - m = 0 \] \[ x^2 + 2x + 2 - 2x + 2mx - m = 0 \] \[ x^2 + 2mx + (2 - m) = 0 \] Phương trình bậc hai này có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$. Ta cần tìm giá trị của tham số $m$ để biểu thức $Q = 3(x_1 + x_2) - (x_1^2 + x_2^2)$ đạt giá trị lớn nhất. Theo định lý Vi-ét, ta có: \[ x_1 + x_2 = -2m \] \[ x_1 x_2 = 2 - m \] Ta tính $x_1^2 + x_2^2$ như sau: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = (-2m)^2 - 2(2 - m) \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 4m^2 - 4 + 2m \] Thay các giá trị này vào biểu thức $Q$, ta có: \[ Q = 3(x_1 + x_2) - (x_1^2 + x_2^2) \] \[ Q = 3(-2m) - (4m^2 - 4 + 2m) \] \[ Q = -6m - 4m^2 + 4 - 2m \] \[ Q = -4m^2 - 8m + 4 \] Để tìm giá trị lớn nhất của $Q$, ta cần tìm đỉnh của parabol $Q = -4m^2 - 8m + 4$. Đỉnh của parabol có dạng $m = -\frac{b}{2a}$, trong đó $a = -4$ và $b = -8$: \[ m = -\frac{-8}{2(-4)} \] \[ m = -\frac{8}{-8} \] \[ m = 1 \] Thay $m = 1$ vào biểu thức $Q$, ta có: \[ Q = -4(1)^2 - 8(1) + 4 \] \[ Q = -4 - 8 + 4 \] \[ Q = -8 \] Do đó, giá trị lớn nhất của $Q$ là $-8$, đạt được khi $m = 1$. Đáp án cuối cùng: Giá trị lớn nhất của biểu thức $Q$ là $-8$, đạt được khi $m = 1$. Câu 3: Để viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) song song với đường thẳng \(d: 3x - 4y + 4 = 0\) và là tiếp tuyến của đường tròn \((x-1)^2 + (y+2)^2 = 9\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hệ số góc của đường thẳng \(d\) Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng tổng quát \(Ax + By + C = 0\) với \(A = 3\), \(B = -4\). Đường thẳng \(\Delta\) song song với \(d\) nên có cùng hệ số góc. Do đó, phương trình \(\Delta\) có dạng: \[ 3x - 4y + C = 0 \] Bước 2: Xác định tâm và bán kính của đường tròn Đường tròn có phương trình \((x-1)^2 + (y+2)^2 = 9\), do đó: - Tâm \(I(1, -2)\) - Bán kính \(R = \sqrt{9} = 3\) Bước 3: Điều kiện tiếp tuyến Đường thẳng \(\Delta\) là tiếp tuyến của đường tròn, nên khoảng cách từ tâm \(I(1, -2)\) đến đường thẳng \(\Delta\) phải bằng bán kính \(R = 3\). Khoảng cách từ điểm \(I(1, -2)\) đến đường thẳng \(\Delta: 3x - 4y + C = 0\) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|3 \cdot 1 - 4 \cdot (-2) + C|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 + 8 + C|}{5} = \frac{|11 + C|}{5} \] Vì \(\Delta\) là tiếp tuyến, nên: \[ \frac{|11 + C|}{5} = 3 \] Giải phương trình này, ta có: \[ |11 + C| = 15 \] Điều này dẫn đến hai trường hợp: 1. \(11 + C = 15 \Rightarrow C = 4\) 2. \(11 + C = -15 \Rightarrow C = -26\) Bước 4: Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) Từ hai giá trị của \(C\), ta có hai phương trình đường thẳng \(\Delta\): 1. \(3x - 4y + 4 = 0\) 2. \(3x - 4y - 26 = 0\) Vậy, có hai đường thẳng \(\Delta\) thỏa mãn yêu cầu bài toán: - \(\Delta_1: 3x - 4y + 4 = 0\) - \(\Delta_2: 3x - 4y - 26 = 0\) Câu 4: Để viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\), ta cần xác định tọa độ ba đỉnh \(A\), \(B\), và \(C\). Bước 1: Tìm tọa độ điểm \(A\) Đường phân giác trong \(AD\) có phương trình \(x + 2y - 5 = 0\). Đường trung tuyến \(AM\) có phương trình \(4x + 13y - 10 = 0\). Điểm \(A\) là giao điểm của hai đường thẳng này. Ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + 2y - 5 = 0 \\ 4x + 13y - 10 = 0 \end{cases} \] Từ phương trình thứ nhất, ta có: \[ x = 5 - 2y \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 4(5 - 2y) + 13y - 10 = 0 \] \[ 20 - 8y + 13y - 10 = 0 \] \[ 5y + 10 = 0 \] \[ y = -2 \] Thay \(y = -2\) vào phương trình \(x = 5 - 2y\): \[ x = 5 - 2(-2) = 5 + 4 = 9 \] Vậy tọa độ điểm \(A\) là \((9, -2)\). Bước 2: Tìm tọa độ điểm \(B\) Để tìm tọa độ điểm \(B\), ta cần sử dụng tính chất của đường trung tuyến. Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tọa độ \(M\) thỏa mãn: \[ M\left(\frac{x_B + 4}{2}, \frac{y_B + 3}{2}\right) \] Vì \(M\) nằm trên đường thẳng \(AM: 4x + 13y - 10 = 0\), ta có: \[ 4\left(\frac{x_B + 4}{2}\right) + 13\left(\frac{y_B + 3}{2}\right) - 10 = 0 \] \[ 2(x_B + 4) + \frac{13}{2}(y_B + 3) - 10 = 0 \] \[ 2x_B + 8 + \frac{13}{2}y_B + \frac{39}{2} - 10 = 0 \] \[ 2x_B + \frac{13}{2}y_B + \frac{47}{2} - 10 = 0 \] \[ 2x_B + \frac{13}{2}y_B = \frac{20}{2} - \frac{47}{2} \] \[ 2x_B + \frac{13}{2}y_B = -\frac{27}{2} \] Nhân cả hai vế với 2: \[ 4x_B + 13y_B = -27 \] Bước 3: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có tâm là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh tam giác. Tuy nhiên, với bài toán này, ta có thể sử dụng phương pháp khác để tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp. Phương trình đường tròn có dạng: \[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \] Trong đó \((x_0, y_0)\) là tâm đường tròn và \(R\) là bán kính. Để tìm \((x_0, y_0)\), ta cần thêm thông tin về điểm \(B\) hoặc sử dụng các tính chất khác của tam giác. Tuy nhiên, do bài toán không cung cấp đủ thông tin để xác định điểm \(B\) hoặc các tính chất khác, ta không thể hoàn thành việc viết phương trình đường tròn ngoại tiếp chỉ với thông tin hiện có. Cần thêm dữ liệu hoặc giả thiết để tiếp tục.