Tính giá trị a + b + c.

Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần tìm điểm \( M(a; b; c) \) thuộc mặt phẳng \((P): x + 2y - z - 1 = 0\) sao cho \( MA = MB \) và số đo góc \(\widehat{AMB}\) lớn nhất. Sau đó, tính giá trị \( a + b + c \). Bước 1: Điều kiện điểm \( M \) thuộc mặt phẳng \((P)\) Điểm \( M(a; b; c) \) thuộc mặt phẳng \((P)\) thỏa mãn phương trình: \[ a + 2b - c - 1 = 0. \] Bước 2: Điều kiện \( MA = MB \) Điều kiện \( MA = MB \) có nghĩa là khoảng cách từ \( M \) đến \( A \) bằng khoảng cách từ \( M \) đến \( B \). Ta có: \[ MA^2 = (a - 2)^2 + (b - 2)^2 + c^2, \] \[ MB^2 = (a - 2)^2 + b^2 + (c + 2)^2. \] Do đó, ta có phương trình: \[ (a - 2)^2 + (b - 2)^2 + c^2 = (a - 2)^2 + b^2 + (c + 2)^2. \] Rút gọn phương trình trên: \[ (b - 2)^2 + c^2 = b^2 + (c + 2)^2. \] Khai triển và rút gọn: \[ b^2 - 4b + 4 + c^2 = b^2 + c^2 + 4c + 4. \] Rút gọn tiếp: \[ -4b = 4c. \] Suy ra: \[ b = -c. \] Bước 3: Tìm điểm \( M \) để góc \(\widehat{AMB}\) lớn nhất Góc \(\widehat{AMB}\) lớn nhất khi \( M \) nằm trên đường trung trực của đoạn \( AB \). Đường trung trực của đoạn \( AB \) là tập hợp các điểm cách đều \( A \) và \( B \), và đã được thỏa mãn bởi điều kiện \( MA = MB \). Bước 4: Tìm tọa độ \( M \) Từ điều kiện \( b = -c \) và phương trình mặt phẳng: \[ a + 2b - c - 1 = 0, \] thay \( b = -c \) vào phương trình: \[ a + 2(-c) - c - 1 = 0, \] \[ a - 3c - 1 = 0. \] Suy ra: \[ a = 3c + 1. \] Vậy tọa độ điểm \( M \) là \( (3c + 1; -c; c) \). Bước 5: Tính giá trị \( a + b + c \) Tính tổng: \[ a + b + c = (3c + 1) + (-c) + c = 3c + 1. \] Để góc \(\widehat{AMB}\) lớn nhất, \( M \) phải nằm trên đường trung trực của \( AB \), và do đó, \( M \) có thể là trung điểm của \( AB \). Tọa độ trung điểm \( AB \) là: \[ \left( \frac{2 + 2}{2}, \frac{2 + 0}{2}, \frac{0 - 2}{2} \right) = (2, 1, -1). \] Thay vào: \[ a = 2, \quad b = 1, \quad c = -1. \] Tính: \[ a + b + c = 2 + 1 - 1 = 2. \] Vậy giá trị \( a + b + c \) là \( 2 \).