Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... II. Tự luận (3 điểm),Bài 1. (0,5 điểm) Cho cấp số nhân $(u_n)$ biết $u_1=12;\frac{u_3}{u_3}=243.$ Tìm u9.,Bài 2. (1 điểm) Tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow1}\frac{2\sqrt{x+3}+x-5}{x-x^2}.$,Bài 3. (1 điểm) Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của tam giác BCD. Gọi (P) là mặt,phẳng qua G song song với AB và CD.,a) Tìm giao tuyến của (P) và (BCD).,b) Chứng minh thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi (P) là hình bình hành.,Bài 4. (0,5 điểm) Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác,ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC. Ta xây dựng dãy các tam giác,$A_1B_1C_1;A_2B_2C_2;A_3B_3C_3;...$ sao cho $A_1B_1C_1$ là một tam giác đều cạnh bằng 3 và,với mỗi số nguyên dương $n\geq2,$ tam giác $A_nB_nC_n$ là tam giác trung bình của tam giác,$A_{n-1}B_{n-1}C_{n-1}.$ Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu Sn tương ứng là diện tích hình,tròn ngoại tiếp tam giác $A_nB_nC_n.$ Tính tổng $S=S_1+S_2+...+S_n+...$

Question

Accepted Answer

Bài 1:

1. Công bội $ q $ của cấp số nhân thỏa mãn:

$$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$$

2. Từ giả thiết:

$$\frac{u_3}{u_8} = \frac{12 \cdot q^2}{12 \cdot q^7} = \frac{1}{q^5} = 243 \Rightarrow q^5 = \frac{1}{243} \Rightarrow q = \frac{1}{3}$$

3. Tính $ u_9 $:

$$u_9 = 12 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^8 = 12 \cdot \frac{1}{6561} = \frac{4}{2187}$$

Đáp số: $ u_9 = \frac{4}{2187} $.

---

Bài 2: Tính giới hạn

$$\lim_{x \to 1} \frac{2\sqrt{x+3} + x - 5}{x - x^2}$$

1. Thay $ x = 1 $ vào tử và mẫu:

- Tử: $ 2\sqrt{4} + 1 - 5 = 4 + 1 - 5 = 0 $

- Mẫu: $ 1 - 1 = 0 $

→ Dạng vô định $ \frac{0}{0} $.

2. Khử dạng vô định bằng cách nhân liên hợp:

$$\text{Tử số} = 2\sqrt{x+3} + (x - 5) = \frac{(2\sqrt{x+3})^2 - (x - 5)^2}{2\sqrt{x+3} - (x - 5)} = \frac{4(x+3) - (x^2 - 10x + 25)}{...}$$

Rút gọn tử số:

$$4x + 12 - x^2 + 10x - 25 = -x^2 + 14x - 13 = -(x - 1)(x - 13)$$

Mẫu số: $ x(1 - x) $.

3. Giới hạn trở thành:

$$\lim_{x \to 1} \frac{-(x - 1)(x - 13)}{x(1 - x)} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 13}{-x} = \frac{-12}{-1} = 12$$

Đáp số: $ 12 $.

---

Bài 3: Tứ diện $ ABCD $ và mặt phẳng $ (P) $

a) Tìm giao tuyến của $ (P) $ và $ (BCD) $:

- $ (P) $ song song với $ AB $ và $ CD $.

- $ G $ là trọng tâm $ \Delta BCD $.

- Giao tuyến là đường thẳng qua $ G $ song song với $ CD $ (vì $ (P) \parallel CD $).

b) Thiết diện là hình bình hành:

- Thiết diện tạo bởi $ (P) $ cắt các mặt của tứ diện là tứ giác có các cặp cạnh đối song song (do $ (P) \parallel AB $ và $ (P) \parallel CD $).

- Suy ra thiết diện là hình bình hành.

---

Bài 4: Dãy tam giác trung bình và tổng diện tích hình tròn ngoại tiếp

1. Tam giác đều ban đầu $ A_1B_1C_1 $:

- Cạnh $ a_1 = 3 $.

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $ R_1 = \frac{a_1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $.

- Diện tích $ S_1 = \pi R_1^2 = 3\pi $.

2. Tam giác trung bình $ A_nB_nC_n $:

- Cạnh $ a_n = \frac{a_{n-1}}{2} $.

- Bán kính $ R_n = \frac{a_n}{\sqrt{3}} = \frac{R_{n-1}}{2} $.

- Diện tích $ S_n = \pi R_n^2 = \frac{S_{n-1}}{4} $.

3. Tổng diện tích $ S $:

Dãy $ S_n $ là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội $ q = \frac{1}{4} $:

$$S = S_1 + S_2 + \cdots = \frac{3\pi}{1 - \frac{1}{4}} = 4\pi$$

Đáp số: $ S = 4\pi $.