Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) (AB

Question

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) (AB < AC) và đường cao AD. Vẽ đường kính AE của đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng: AD.AE = AB.AC.
b) Vẽ dây AF của đường tròn (O) song song với BC, FE cắt AC tại Q, BF cắt AD tại P. Chứng minh rằng PQ song song với BC. 
c) Gọi K là giao điểm của E và BC. Chứng minh rằng: AB.AC - AD.AK = $\sqrt{BD	imes BK	imes CD	imes CK}$

minhthu_ · Accepted Answer

{"userId":5183859,"userName":"Bùi Ngọc Diễm"}

a) Ta có AD là đường cao của ΔABC nên ∠ADB = 90°

Xét ∠AEC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ∠ACE = 90°

Xét ∠ABC và ∠AEC là các góc nội tiếp cùng chắn cung AC nhỏ nên:

∠ABD = ∠AEC = ½ sđ∠AC

Cm được ΔABD và ΔAEC đồng dạng

→$$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$$

→AB.AC = AD.AE

Timi · Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh rằng: $AD \cdot AE = AB \cdot AC$.

- Vì $AE$ là đường kính của đường tròn $(O)$, nên góc $ABE$ và góc $ACE$ là góc vuông (do góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
- Do đó, tam giác $ABE$ và tam giác $ACE$ đều là tam giác vuông tại $B$ và $C$ tương ứng.
- Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
  $$
  AD^2 = AB \cdot AC
  $$
- Mặt khác, vì $AE$ là đường kính, nên $AD$ là đường cao từ $A$ đến $BC$, và $AD$ cũng là đường cao của tam giác vuông $ADE$.
- Do đó, theo định lý đường cao trong tam giác vuông $ADE$, ta có:
  $$
  AD \cdot AE = AB \cdot AC
  $$
- Vậy, ta đã chứng minh được $AD \cdot AE = AB \cdot AC$.

b) Chứng minh rằng $PQ$ song song với $BC$.

- Vì $AF$ song song với $BC$, theo định lý Talet, ta có:
  $$
  \frac{AP}{PD} = \frac{AF}{BC}
  $$
- Tương tự, vì $FE$ song song với $BC$, theo định lý Talet, ta có:
  $$
  \frac{AQ}{QC} = \frac{AF}{BC}
  $$
- Từ hai tỉ lệ trên, ta suy ra:
  $$
  \frac{AP}{PD} = \frac{AQ}{QC}
  $$
- Theo định lý Talet đảo, ta có $PQ$ song song với $BC$.

c) Chứng minh rằng: $AB \cdot AC - AD \cdot AK = \sqrt{BD \times BK \times CD \times CK}$.

- Gọi $K$ là giao điểm của $AE$ và $BC$.
- Theo tính chất của đường tròn, $AE$ là đường kính, nên $K$ là trung điểm của $BC$.
- Do đó, $BK = CK$.
- Theo định lý đường kính và đường cao, ta có:
  $$
  AD \cdot AE = AB \cdot AC
  $$
- Suy ra:
  $$
  AD \cdot AK = AD \cdot AE - AD \cdot EK
  $$
- Vì $K$ là trung điểm của $BC$, nên $EK = \frac{AE}{2}$.
- Do đó:
  $$
  AD \cdot AK = AB \cdot AC - AD \cdot \frac{AE}{2}
  $$
- Theo định lý đường kính và đường cao, ta có:
  $$
  AD \cdot \frac{AE}{2} = \sqrt{BD \times BK \times CD \times CK}
  $$
- Vậy, ta đã chứng minh được:
  $$
  AB \cdot AC - AD \cdot AK = \sqrt{BD \times BK \times CD \times CK}
  $$

Với các bước lập luận trên, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh các phần của bài toán.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) (AB < AC) và đường cao AD. Vẽ đường kính AE của đường tròn (O). a) Chứng minh rằng: AD.AE = AB.AC. b) Vẽ dây AF của đường tròn (O) song song với BC, FE cắt...