Giải phương trình

13) $\sqrt{x^2+5x+20}=4$ Điều kiện xác định: $x^2+5x+20 \geq 0$ (luôn đúng với mọi $x$) Ta có: $\sqrt{x^2+5x+20}=4$ $x^2+5x+20 = 16$ $x^2+5x+4 = 0$ $(x+1)(x+4) = 0$ $x+1 = 0$ hoặc $x+4 = 0$ $x = -1$ hoặc $x = -4$ 14) $\sqrt{x^2-2x+1}+2=5$ Điều kiện xác định: $x^2-2x+1 \geq 0$ (luôn đúng với mọi $x$) Ta có: $\sqrt{x^2-2x+1}+2=5$ $\sqrt{(x-1)^2}+2=5$ $|x-1|+2=5$ $|x-1|=3$ $x-1=3$ hoặc $x-1=-3$ $x=4$ hoặc $x=-2$ 15) $2\sqrt{9x^2+6x+1}=14$ Điều kiện xác định: $9x^2+6x+1 \geq 0$ (luôn đúng với mọi $x$) Ta có: $2\sqrt{9x^2+6x+1}=14$ $\sqrt{9x^2+6x+1}=7$ $\sqrt{(3x+1)^2}=7$ $|3x+1|=7$ $3x+1=7$ hoặc $3x+1=-7$ $3x=6$ hoặc $3x=-8$ $x=2$ hoặc $x=-\frac{8}{3}$ Bài 14: a) \( \frac{x+1}{x-1} = \frac{2x+1}{x+2} \) Điều kiện xác định: \( x \neq 1 \) và \( x \neq -2 \). Ta có: \[ \frac{x+1}{x-1} = \frac{2x+1}{x+2} \] Nhân chéo để loại bỏ mẫu số: \[ (x+1)(x+2) = (2x+1)(x-1) \] Phân phối và mở ngoặc: \[ x^2 + 2x + x + 2 = 2x^2 - 2x + x - 1 \] \[ x^2 + 3x + 2 = 2x^2 - x - 1 \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ x^2 + 3x + 2 - 2x^2 + x + 1 = 0 \] \[ -x^2 + 4x + 3 = 0 \] Nhân cả hai vế với -1 để đơn giản hóa: \[ x^2 - 4x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] với \( a = 1 \), \( b = -4 \), và \( c = -3 \): \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} \] \[ x = 2 \pm \sqrt{7} \] Kiểm tra điều kiện xác định: \[ x \neq 1 \] và \( x \neq -2 \). Do đó, các nghiệm thỏa mãn điều kiện là: \[ x = 2 + \sqrt{7} \quad \text{hoặc} \quad x = 2 - \sqrt{7} \] b) \( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{2}{x^2-1} \) Điều kiện xác định: \( x \neq 1 \) và \( x \neq -1 \). Ta có: \[ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{2}{x^2-1} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{(x-1)(x+1)} \] Rút gọn: \[ \frac{2x}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{(x-1)(x+1)} \] So sánh tử số: \[ 2x = 2 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ x = 1 \] Tuy nhiên, \( x = 1 \) không thỏa mãn điều kiện xác định \( x \neq 1 \). Do đó, phương trình không có nghiệm. c) \( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{2}{x^2-1} \) Điều kiện xác định: \( x \neq 1 \) và \( x \neq -1 \). Ta có: \[ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{2}{x^2-1} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{(x-1)(x+1)} \] Rút gọn: \[ \frac{2x}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{(x-1)(x+1)} \] So sánh tử số: \[ 2x = 2 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ x = 1 \] Tuy nhiên, \( x = 1 \) không thỏa mãn điều kiện xác định \( x \neq 1 \). Do đó, phương trình không có nghiệm.