Giúp mình với!

Bài 13: Tìm số hạng tổng quát \( u_n \) của dãy số

Đề bài: Cho dãy số \( (u_n) \) có: \[\begin{cases} u_1 = 16 \\ u_{n+1} + 14 = \frac{15 (n u_n + 1)}{n + 1}, \quad \forall n \geq 1\end{cases}\]

Giải:

1. Đặt dãy phụ:

  Đặt \( v_n = u_n + 14 \). Khi đó:

  \[v_{n+1} = \frac{15 (n u_n + 1)}{n + 1} = \frac{15 (n (v_n - 14) + 1)}{n + 1} = \frac{15 n v_n - 210 n + 15}{n + 1}\]

  \[v_{n+1} = \frac{15 n}{n + 1} v_n - \frac{210 n - 15}{n + 1}\]

2. Chuẩn hóa dãy:

  Đặt \( v_n = \frac{w_n}{n} \). Thay vào phương trình:

  \[\frac{w_{n+1}}{n + 1} = \frac{15 n}{n + 1} \cdot \frac{w_n}{n} - \frac{210 n - 15}{n + 1}\]

  \[w_{n+1} = 15 w_n - (210 n - 15)\]

  \[w_{n+1} - 15 w_n = -210 n + 15\]

3. Giải phương trình sai phân:

  - Nghiệm thuần nhất: \( w_n^{(0)} = A \cdot 15^n \).

  - Nghiệm riêng: Giả sử \( w_n^{(p)} = B n + C \). Thay vào:

   \[B (n + 1) + C - 15 (B n + C) = -210 n + 15\]

   \[-14 B n + (B - 14 C) = -210 n + 15\]

   Đồng nhất hệ số:

   \[-14 B = -210 \Rightarrow B = 15\]

   \[B - 14 C = 15 \Rightarrow 15 - 14 C = 15 \Rightarrow C = 0\]

   Vậy \( w_n^{(p)} = 15 n \).

  - Nghiệm tổng quát:

   \[w_n = A \cdot 15^n + 15 n\]

  - Tìm \( A \) từ điều kiện ban đầu:

   \[v_1 = u_1 + 14 = 30 = \frac{w_1}{1} \Rightarrow w_1 = 30\]

   \[30 = A \cdot 15 + 15 \Rightarrow A = 1\]

   Vậy:

   \[w_n = 15^n + 15 n\]

  - Suy ra:

   \[v_n = \frac{w_n}{n} = \frac{15^n + 15 n}{n} = \frac{15^n}{n} + 15\]

   \[u_n = v_n - 14 = \frac{15^n}{n} + 1\]

Kết quả:

\[u_n = \frac{15^n}{n} + 1\]

Bài 14: Tìm giới hạn của dãy số

Đề bài:

Cho dãy số \( (u_n) \) xác định bởi:

\[\begin{cases} u_1 = 2 \\ n (n^2 - 1) u_n = u_1 + 2 u_2 + \ldots + (n - 1) u_{n-1}, \quad \forall n > 1, n \in \mathbb{N}\end{cases}\]

Tìm: \[\lim_{n \to \infty} \frac{9}{2} (n^3 - n) u_n\]

Giải:

1. Đặt tổng:

  Đặt \( S_n = u_1 + 2 u_2 + \ldots + (n - 1) u_{n-1} \). Theo đề:

  \[S_n = n (n^2 - 1) u_n\]

  Mặt khác:

  \[S_{n+1} = S_n + n u_n = n (n^2 - 1) u_n + n u_n = n u_n (n^2 - 1 + 1) = n^3 u_n\]

  Nhưng \( S_{n+1} = (n + 1) ((n + 1)^2 - 1) u_{n+1} = (n + 1) (n^2 + 2 n) u_{n+1} \). Vậy:

  \[n^3 u_n = (n + 1) n (n + 2) u_{n+1}\]

  \[u_{n+1} = \frac{n^2}{(n + 1)(n + 2)} u_n\]

2. Tìm công thức tổng quát:

  Viết lại:

  \[\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n^2}{(n + 1)(n + 2)}\]

  Lấy tích các tỷ số từ \( n = 1 \) đến \( n = k - 1 \):

  \[\frac{u_k}{u_1} = \prod_{n=1}^{k-1} \frac{n^2}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{(1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (k - 1))^2}{(2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot k) (3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (k + 1))} = \frac{( (k - 1)! )^2}{\frac{k!}{1} \cdot \frac{(k + 1)!}{2}} = \frac{2 (k - 1)!}{k (k + 1)!} = \frac{2}{k (k + 1) (k - 1)}\]

  Cách khác:

  \[\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n^2}{n^2 + 3 n + 2} \approx 1 - \frac{3}{n} + \ldots\]

  Dự đoán \( u_n \sim \frac{C}{n^3} \).

Thử \( u_n = \frac{2}{n (n + 1)} \):

  - Với \( n = 1 \): \( u_1 = 2 \) (đúng).

  - Với \( n = 2 \):

   \[S_2 = u_1 = 2 = 2 (2^2 - 1) u_2 \Rightarrow u_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]

   Mặt khác, theo công thức: \( u_2 = \frac{2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3} \) (đúng).

  - Với \( n = 3 \):

   \[S_3 = u_1 + 2 u_2 = 2 + 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{3} = 3 (3^2 - 1) u_3 \Rightarrow u_3 = \frac{8}{3 \cdot 8} = \frac{1}{3}\]

   Theo công thức: \( u_3 = \frac{2}{3 \cdot 4} = \frac{1}{6} \) (không khớp).

  Sửa lại:

  Từ \( u_{n+1} = \frac{n^2}{(n + 1)(n + 2)} u_n \), tích lũy:

  \[u_n = u_1 \prod_{k=1}^{n-1} \frac{k^2}{(k + 1)(k + 2)} = 2 \cdot \frac{(1^2 \cdot 2^2 \cdot \ldots \cdot (n - 1)^2)}{(2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n) (3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (n + 1))} = 2 \cdot \frac{[(n - 1)!]^2}{\frac{n!}{1} \cdot \frac{(n + 1)!}{2}} = \frac{4 (n - 1)!}{n (n + 1)!} = \frac{4}{n (n + 1) (n - 1)}\]

  Vậy:

  \[u_n = \frac{4}{n (n^2 - 1)}\]

3. Tính giới hạn:

  \[\frac{9}{2} (n^3 - n) u_n = \frac{9}{2} (n^3 - n) \cdot \frac{4}{n (n^2 - 1)} = \frac{9}{2} \cdot \frac{4 (n^3 - n)}{n (n^2 - 1)} = \frac{18 (n^3 - n)}{n^3 - n} = 18\]

  Vậy giới hạn là 18.

Kết quả:

\[\boxed{18}\]

Bài 15: Tìm giới hạn của dãy số \( a_n \)

Đề bài:

Cho dãy số \( (a_n) \) thỏa mãn:

\[\begin{cases} a_1 = \frac{4}{3} \\ (n + 2)^2 a_n = n^2 a_{n+1} - (n + 1) a_n a_{n+1}, \quad \forall n \geq 1, n \in \mathbb{N}\end{cases}\]

Tìm:

\[\lim_{n \to \infty} a_n\]

Giải:

1. Biến đổi phương trình:

  \[(n + 2)^2 a_n = n^2 a_{n+1} - (n + 1) a_n a_{n+1}\]

  \[(n + 2)^2 a_n = a_{n+1} (n^2 - (n + 1) a_n)\]

  \[a_{n+1} = \frac{(n + 2)^2 a_n}{n^2 - (n + 1) a_n}\]

2. Đặt dãy phụ:

  Đặt \( b_n = \frac{1}{a_n} \). Khi đó:

  \[\frac{1}{b_{n+1}} = \frac{(n + 2)^2 / b_n}{n^2 - (n + 1) / b_n} = \frac{(n + 2)^2}{n^2 b_n - (n + 1)}\]

  \[b_{n+1} = \frac{n^2 b_n - (n + 1)}{(n + 2)^2}\]

  \[(n + 2)^2 b_{n+1} = n^2 b_n - (n + 1)\]

3. Giải phương trình sai phân:

  - Đoán nghiệm riêng dạng \( b_n = A \). Thay vào:

   \[(n + 2)^2 A = n^2 A - (n + 1)\]

   \[A (n^2 + 4 n + 4 - n^2) = - (n + 1)\]

   \[A (4 n + 4) = - (n + 1) \Rightarrow A = -\frac{1}{4}\]

  - Nghiệm thuần nhất: \( b_n^{(0)} = \frac{C}{n^2} \).

  - Nghiệm tổng quát:

   \[b_n = \frac{C}{n^2} - \frac{1}{4}\]

  - Tìm \( C \) từ điều kiện ban đầu:

   \[b_1 = \frac{1}{a_1} = \frac{3}{4} = C - \frac{1}{4} \Rightarrow C = 1\]

   Vậy:

   \[b_n = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{4}\]

   \[a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{1}{\frac{1}{n^2} - \frac{1}{4}} = \frac{4 n^2}{4 - n^2}\]

   (Kiểm tra lại, vì khi \( n \to \infty \), \( a_n \to -4 \), nhưng \( a_1 = \frac{4}{3} \) phù hợp.)

4. Tính giới hạn:

  \[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{4 n^2}{4 - n^2} = -4\]

Kết quả:

\[\boxed{-4}\]