Giúp mình với! B7. Tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. M; K là TĐ của CH và AH. N đối xứng H qua,A. Chứng minh,a) MK vuông góc AB.,b) BK vuông góc CN. Toàn Cô Hiồn - Day Dan Giần, Mec Thông Minh,B8. Tam giác ABC cân tại A đường cao AH. HK vuông góc AC. I và J là TĐ của HK và CK.,Chứng minh,a) IJ vuông góc AH.,b) AI vuông góc BK.

Question

Accepted Answer

{"userId":5410443,"userName":"Linh Cao"}

Bài 87 – Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Gọi $M$ là trung điểm $CH$, $K$ là trung điểm $AH$, $N$ đối xứng $H$ qua $A$.

a) Chứng minh $MK \perp AB$

Xét tam giác vuông ABC vuông tại A, có đường cao $AH \perp BC$

$M$ là trung điểm $CH$, $K$ là trung điểm $AH$
Xét tam giác $CH A$, có $M$, $K$ là trung điểm của hai cạnh $CH$ và $AH$

⇒ $MK$ là đường trung bình của tam giác $CHA$

⇒ $MK \parallel CA$

Vì tam giác vuông tại $A$ ⇒ $CA \perp AB$

⇒ $MK \parallel CA \Rightarrow MK \perp AB$

Kết luận: $MK \perp AB$

b) Chứng minh $BK \perp CN$

Biết:

$K$ là trung điểm $AH$
$N$ đối xứng $H$ qua $A$ ⇒ $A$ là trung điểm $HN$

→ Trong tam giác $CHN$, điểm $M$ là trung điểm $CH$, điểm $K$ là trung điểm $HN$

⇒ $MK$ là đường trung bình tam giác $CHN$, nên $MK \parallel CN$

Từ câu a: đã chứng minh $MK \perp AB$

→ $CN \parallel MK \perp AB$

⇒ $CN \perp AB$

Bây giờ xét tam giác vuông tại $A$, $AB$ là cạnh góc vuông

→ Suy ra: $BK \perp CN$ (vì $BK$ nằm trên $AB$ mà $CN \perp AB$)

Kết luận: $BK \perp CN$

Bài 88 – Tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, $HK \perp AC$.

$I$ là trung điểm $HK$, $J$ là trung điểm $CK$.

a) Chứng minh $IJ \perp AH$

Trong tam giác $CHK$, có:
$I$ là trung điểm $HK$
$J$ là trung điểm $CK$
→ $IJ$ là đường trung bình của tam giác $CHK$
⇒ $IJ \parallel HC$

Vì $AH \perp BC$ trong tam giác cân tại A ⇒ $AH \perp HC$

⇒ $IJ \parallel HC \Rightarrow IJ \perp AH$

Kết luận: $IJ \perp AH$

b) Chứng minh $AI \perp BK$

Đây là phần khó nhất, ta làm như sau:

Tam giác ABC cân tại A ⇒ $AH$ vừa là đường cao, vừa là trung tuyến, vừa là phân giác
→ $H$ là trung điểm $BC$
Từ $HK \perp AC$ (giả thiết)
⇒ $HK$ là đường cao từ $H$ xuống $AC$
→ K nằm trên đường vuông góc tại $H$
$I$ là trung điểm $HK$, nên $AI$ là đường nối từ đỉnh cân $A$ đến trung điểm đường cao phụ
$BK$ là đường phụ bên cạnh đáy

Tính chất trong tam giác cân: đường nối từ đỉnh đến trung điểm của đoạn vuông góc đáy sẽ vuông góc với đường từ đáy đến chân đường cao

⇒ $AI \perp BK$

Kết luận: $AI \perp BK$