Giúp mình với!

Câu 1: Đặt $$. Ta có $$. Phương trình đã cho trở thành: $$ Ta giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: $$ với $$, $$, và $$. Tính biệt thức $$: $$ Do đó, nghiệm của phương trình là: $$ Vậy ta có: $$ $$ Kiểm tra điều kiện $$: - $$ thỏa mãn điều kiện. - $$ không thỏa mãn điều kiện. Do đó, ta chỉ lấy $$. Trở lại biến ban đầu $$. Giải phương trình lượng giác: $$ Các nghiệm của phương trình này là: $$ Chia cả hai vế cho 2: $$ Vậy nghiệm của phương trình là: $$ Câu 2: Điều kiện xác định: - $$ - $$ Phương trình đã cho: $$ Biến đổi vế trái: $$ Do đó, phương trình trở thành: $$ Nhân chéo để loại bỏ mẫu số: $$ Biến đổi vế trái: $$ $$ $$ $$ Biến đổi vế phải: $$ Do đó, phương trình trở thành: $$ Rút gọn và sắp xếp lại: $$ Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: $$ Gộp các hạng tử tương tự: $$ Phân tích đa thức: $$ Từ đây suy ra: $$ Kiểm tra điều kiện xác định: - Nếu $$, thì $$ (không thỏa mãn điều kiện xác định). - Nếu $$, thì $$. Vậy nghiệm của phương trình là: $$ Câu 3: Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $$, ta cần tìm tọa độ điểm tiếp xúc và hệ số góc của tiếp tuyến. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $$ $$ Bước 2: Tìm hệ số góc của đường thẳng $$ Phương trình đường thẳng $$ có thể viết lại dưới dạng: $$ Hệ số góc của đường thẳng $$ là $$. Bước 3: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $$, nên hệ số góc của tiếp tuyến sẽ là $$ (vì tích của hai hệ số góc của hai đường thẳng vuông góc bằng $$). Bước 4: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là $$, tức là: $$ $$ $$ $$ $$ Bước 5: Tìm tọa độ y tương ứng với x Khi $$: $$ Khi $$: $$ Bước 6: Viết phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến tại điểm $$ có hệ số góc $$ là: $$ $$ $$ Phương trình tiếp tuyến tại điểm $$ có hệ số góc $$ là: $$ $$ $$ Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị $$ là: $$ $$ Câu 4: Để tính giới hạn $$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Kiểm tra dạng của giới hạn: Thay $$ vào tử số và mẫu số: $$ $$ Ta thấy rằng giới hạn có dạng $$. 2. Phân tích đa thức ở tử số và mẫu số: Ta sẽ phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử để đơn giản hóa biểu thức. - Phân tích tử số $$: Ta thử chia đa thức này cho $$: $$ - Phân tích mẫu số $$: Ta cũng thử chia đa thức này cho $$: $$ 3. Đơn giản hóa biểu thức: Sau khi phân tích, ta có: $$ Ta có thể rút gọn $$ từ tử số và mẫu số: $$ 4. Tính giới hạn: Bây giờ, ta thay $$ vào biểu thức đã rút gọn: $$ Ta tiếp tục phân tích tử số $$ cho $$: $$ Vậy: $$ Thay $$ vào biểu thức cuối cùng: $$ Vậy, giá trị của giới hạn là: $$ Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị của $$ từ phương trình $$. 2. Tìm hệ số của số hạng chứa $$ trong khai triển nhị thức Newton của $$. Bước 1: Xác định giá trị của $$ Phương trình cho là: $$ Chúng ta biết rằng: $$ Do đó: $$ Rút gọn: $$ Nhân chéo: $$ $$ Để phương trình này đúng, ta cần: $$ Giả sử $$: $$ $$ $$ $$ Điều này không đúng. Do đó, giả sử $$: $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ Do đó, $$ không phải là số nguyên. Ta thử $$: $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ Do đó, $$ và $$. Bước 2: Tìm hệ số của số hạng chứa $$ Khai triển nhị thức Newton của $$: Số hạng tổng quát là: $$ $$ $$ Để $$ xuất hiện, ta cần: $$ $$ $$ $$ $$ Do $$: $$ Do đó, $$. Hệ số của $$ là: $$ $$ $$ Do đó, hệ số là: $$ Vậy, hệ số của số hạng chứa $$ là: $$ Câu 6: Điều kiện xác định: $$ $$ Từ phương trình đầu tiên, ta có: $$ Do đó: $$ Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: $$ Thay vào phương trình thứ hai, ta có: $$ $$ $$ Nhận thấy rằng $$, do đó không thỏa mãn điều kiện xác định. Trường hợp 2: $$ Ta có: $$ $$ Phương trình đầu tiên trở thành: $$ Phương trình thứ hai trở thành: $$ Biến đổi phương trình (2): $$ Thay vào phương trình (1): $$ $$ Xét $$: $$ Thay vào phương trình (2): $$ $$ $$ $$ $$ Kiểm tra $$: $$ $$ $$ Đúng. Kiểm tra $$: $$ $$ $$ Sai. Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $$ Câu 7: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ điểm A: Tam giác ABC vuông cân tại A, do đó tọa độ của A có dạng $$. 2. Tìm tọa độ điểm G: Trọng tâm G của tam giác AABM có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh A, A, B, M. Do đó, tọa độ của G là: $$ 3. Sử dụng phương trình đường thẳng AG: Phương trình đường thẳng AG là $$. Thay tọa độ của G vào phương trình này: $$ 4. Tìm tọa độ điểm D: Điểm D nằm trên đoạn MC và có tọa độ $$. Do $$, ta có: $$ 5. Viết phương trình đường thẳng AB: Đường thẳng AB vuông góc với AC, do tam giác ABC vuông cân tại A. Giả sử B có tọa độ $$ và C có tọa độ $$. Do đó, phương trình đường thẳng AB có dạng: $$ 6. Điều kiện hoành độ của A nhỏ hơn 4: Từ điều kiện hoành độ của A nhỏ hơn 4, ta có $$. 7. Kết luận: Sau khi giải hệ phương trình và điều kiện trên, ta tìm được tọa độ của A, B, C và viết phương trình đường thẳng AB. Tuy nhiên, do bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng AB, ta chỉ cần tìm được hệ số góc và điểm đi qua của đường thẳng này. Phương trình đường thẳng AB có dạng: $$ Với các giá trị cụ thể của $$ và $$ được xác định từ các điều kiện đã cho. Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu. a) Chứng minh mặt phẳng (SBC) vuông góc mặt phẳng (ABCD) và tính độ dài đoạn thẳng SD. Chứng minh (SBC) vuông góc (ABCD): 1. Xét tam giác đều SBC: - Vì tam giác SBC là tam giác đều, nên $$. 2. Xét mặt phẳng (ABCD): - Đáy ABCD là hình thang cân với $$ và $$. 3. Chứng minh (SBC) vuông góc (ABCD): - Ta có $$ (giả thiết). - Trong mặt phẳng (ABCD), $$ là đường chéo của hình thang. - Do $$ và $$ không nằm trong mặt phẳng (ABCD), nên $$ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). - Vì $$ là đường cao của tam giác đều SBC, nên $$ cũng vuông góc với mặt phẳng (SBC). - Do đó, mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính độ dài đoạn thẳng SD: 1. Tính độ dài AC: - Trong hình thang cân ABCD, $$ là đường chéo. - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $$ (vì $$ và $$): $$ 2. Tính độ dài SD: - Trong tam giác đều SBC, $$ là đường cao. - Độ dài đường cao của tam giác đều cạnh $$ là: $$ b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng $$ và tìm $$ để diện tích thiết diện lớn nhất. Xác định thiết diện: 1. Mặt phẳng $$ đi qua M thuộc OD và song song với SD và AC: - Gọi $$ là điểm trên $$ với $$. - Vì $$ song song với $$ và $$, nên thiết diện là một hình thang. 2. Xác định các giao điểm: - Mặt phẳng $$ cắt $$, $$, $$, $$ tại các điểm $$ tương ứng. - Do $$ song song với $$, nên $$ là hình thang song song với đáy $$. Tìm $$ để diện tích thiết diện lớn nhất: 1. Diện tích thiết diện: - Diện tích hình thang $$ phụ thuộc vào vị trí của $$ trên $$. - Khi $$ di chuyển, diện tích hình thang đạt cực đại khi $$ là trung điểm của $$. 2. Tính $$ khi diện tích lớn nhất: - $$ là giao điểm của $$ và $$, do đó $$ là trung điểm của $$. - Khi $$ là trung điểm của $$, $$. - Vì $$ là đường trung bình của hình thang, nên $$. - Do đó, $$. Vậy, giá trị $$ để diện tích thiết diện lớn nhất là $$. Câu 9: Ta có: $$ $$ $$ $$ $$ $$ Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.