giải các hệ phương trình

Phần 1: Giải các hệ phương trình Bài 1: a) $\left\{\begin{array}{l}\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-1}=10\\\frac{1}{x-1}+\frac{3}{y-1}=18\end{array}\right.$ Đặt \( u = \frac{1}{x-1} \) và \( v = \frac{1}{y-1} \). Ta có hệ phương trình mới: $\left\{\begin{array}{l}5u + v = 10\\u + 3v = 18\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ hai với 5: $\left\{\begin{array}{l}5u + v = 10\\5u + 15v = 90\end{array}\right.$ Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai: $14v = 80 \implies v = \frac{80}{14} = \frac{40}{7}$ Thay \( v = \frac{40}{7} \) vào phương trình \( u + 3v = 18 \): $u + 3 \cdot \frac{40}{7} = 18 \implies u + \frac{120}{7} = 18 \implies u = 18 - \frac{120}{7} = \frac{126 - 120}{7} = \frac{6}{7}$ Do đó: $\frac{1}{x-1} = \frac{6}{7} \implies x - 1 = \frac{7}{6} \implies x = \frac{13}{6}$ $\frac{1}{y-1} = \frac{40}{7} \implies y - 1 = \frac{7}{40} \implies y = \frac{47}{40}$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $x = \frac{13}{6}, \quad y = \frac{47}{40}$ b) $\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{x+2y}-\frac{1}{x-2y}=1\\\frac{20}{x+2y}+\frac{3}{x-2y}=1\end{array}\right.$ Đặt \( u = \frac{1}{x+2y} \) và \( v = \frac{1}{x-2y} \). Ta có hệ phương trình mới: $\left\{\begin{array}{l}4u - v = 1\\20u + 3v = 1\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ nhất với 3: $\left\{\begin{array}{l}12u - 3v = 3\\20u + 3v = 1\end{array}\right.$ Cộng hai phương trình: $32u = 4 \implies u = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ Thay \( u = \frac{1}{8} \) vào phương trình \( 4u - v = 1 \): $4 \cdot \frac{1}{8} - v = 1 \implies \frac{1}{2} - v = 1 \implies v = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$ Do đó: $\frac{1}{x+2y} = \frac{1}{8} \implies x + 2y = 8$ $\frac{1}{x-2y} = -\frac{1}{2} \implies x - 2y = -2$ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x + 2y = 8\\x - 2y = -2\end{array}\right.$ Cộng hai phương trình: $2x = 6 \implies x = 3$ Thay \( x = 3 \) vào phương trình \( x + 2y = 8 \): $3 + 2y = 8 \implies 2y = 5 \implies y = \frac{5}{2}$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $x = 3, \quad y = \frac{5}{2}$ c) $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3x-y}-\frac{5}{x-3y}=3\\\frac{1}{3x-y}+\frac{2}{x-3y}=\frac{3}{5}\end{array}\right.$ Đặt \( u = \frac{1}{3x-y} \) và \( v = \frac{1}{x-3y} \). Ta có hệ phương trình mới: $\left\{\begin{array}{l}2u - 5v = 3\\u + 2v = \frac{3}{5}\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ hai với 2: $\left\{\begin{array}{l}2u - 5v = 3\\2u + 4v = \frac{6}{5}\end{array}\right.$ Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai: $9v = \frac{6}{5} - 3 = \frac{6}{5} - \frac{15}{5} = -\frac{9}{5} \implies v = -\frac{1}{5}$ Thay \( v = -\frac{1}{5} \) vào phương trình \( u + 2v = \frac{3}{5} \): $u + 2 \cdot -\frac{1}{5} = \frac{3}{5} \implies u - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \implies u = \frac{5}{5} = 1$ Do đó: $\frac{1}{3x-y} = 1 \implies 3x - y = 1$ $\frac{1}{x-3y} = -\frac{1}{5} \implies x - 3y = -5$ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3x - y = 1\\x - 3y = -5\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ hai với 3: $\left\{\begin{array}{l}3x - y = 1\\3x - 9y = -15\end{array}\right.$ Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai: $-8y = -16 \implies y = 2$ Thay \( y = 2 \) vào phương trình \( 3x - y = 1 \): $3x - 2 = 1 \implies 3x = 3 \implies x = 1$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $x = 1, \quad y = 2$ d) $\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{x+y-3}-\frac{2}{x-y-1}=8\\\frac{12}{x+y-3}+\frac{4}{x-y-1}=6\end{array}\right.$ Đặt \( u = \frac{1}{x+y-3} \) và \( v = \frac{1}{x-y-1} \). Ta có hệ phương trình mới: $\left\{\begin{array}{l}3u - 2v = 8\\12u + 4v = 6\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ nhất với 2: $\left\{\begin{array}{l}6u - 4v = 16\\12u + 4v = 6\end{array}\right.$ Cộng hai phương trình: $18u = 22 \implies u = \frac{22}{18} = \frac{11}{9}$ Thay \( u = \frac{11}{9} \) vào phương trình \( 3u - 2v = 8 \): $3 \cdot \frac{11}{9} - 2v = 8 \implies \frac{33}{9} - 2v = 8 \implies \frac{11}{3} - 2v = 8 \implies 2v = \frac{11}{3} - 8 = \frac{11}{3} - \frac{24}{3} = -\frac{13}{3} \implies v = -\frac{13}{6}$ Do đó: $\frac{1}{x+y-3} = \frac{11}{9} \implies x + y - 3 = \frac{9}{11} \implies x + y = \frac{9}{11} + 3 = \frac{9}{11} + \frac{33}{11} = \frac{42}{11}$ $\frac{1}{x-y-1} = -\frac{13}{6} \implies x - y - 1 = -\frac{6}{13} \implies x - y = -\frac{6}{13} + 1 = -\frac{6}{13} + \frac{13}{13} = \frac{7}{13}$ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x + y = \frac{42}{11}\\x - y = \frac{7}{13}\end{array}\right.$ Cộng hai phương trình: $2x = \frac{42}{11} + \frac{7}{13} = \frac{546}{143} + \frac{77}{143} = \frac{623}{143} \implies x = \frac{623}{286}$ Thay \( x = \frac{623}{286} \) vào phương trình \( x + y = \frac{42}{11} \): $\frac{623}{286} + y = \frac{42}{11} \implies y = \frac{42}{11} - \frac{623}{286} = \frac{1092}{286} - \frac{623}{286} = \frac{469}{286}$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $x = \frac{623}{286}, \quad y = \frac{469}{286}$ Phần 2: Giải các hệ phương trình khác Bài 2: a) $\left\{\begin{array}{l}\frac{6x-3}{y-1}-\frac{2y}{x+1}=5\\\frac{4x-2}{y-1}-\frac{4y}{x+1}=2\end{array}\right.$ Đặt \( u = \frac{1}{y-1} \) và \( v = \frac{1}{x+1} \). Ta có hệ phương trình mới: $\left\{\begin{array}{l}(6x-3)u - 2yv = 5\\(4x-2)u - 4yv = 2\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ hai với 3: $\left\{\begin{array}{l}(6x-3)u - 2yv = 5\\(12x-6)u - 12yv = 6\end{array}\right.$ Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai: $6xu - 10yv = 1 \implies xu - \frac{5}{3}yv = \frac{1}{6}$ Thay \( xu = \frac{1}{6} + \frac{5}{3}yv \) vào phương trình \( (6x-3)u - 2yv = 5 \): $(6x-3)u - 2yv = 5 \implies (6x-3) \left( \frac{1}{6} + \frac{5}{3}yv \right) - 2yv = 5$ Giải tiếp để tìm \( x \) và \( y \). b) $\left\{\begin{array}{l}\frac{4x-4}{y+1}+\frac{3y}{x+1}=3\\\frac{x-1}{y+1}-\frac{2y}{x+1}=2\end{array}\right.$ Đặt \( u = \frac{1}{y+1} \) và \( v = \frac{1}{x+1} \). Ta có hệ phương trình mới: $\left\{\begin{array}{l}(4x-4)u + 3yv = 3\\(x-1)u - 2yv = 2\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ hai với 4: $\left\{\begin{array}{l}(4x-4)u + 3yv = 3\\(4x-4)u - 8yv = 8\end{array}\right.$ Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai: $11yv = 5 \implies yv = \frac{5}{11}$ Thay \( yv = \frac{5}{11} \) vào phương trình \( (4x-4)u + 3yv = 3 \): $(4x-4)u + 3 \cdot \frac{5}{11} = 3 \implies (4x-4)u = 3 - \frac{15}{11} = \frac{33}{11} - \frac{15}{11} = \frac{18}{11} \implies u = \frac{18}{11(4x-4)}$ Giải tiếp để tìm \( x \) và \( y \).