Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 3cm , các cạnh SA =SB = SC = 3cm. Tam giác SBD có diện tích bằng 6cm^2.Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

Để tính thể tích của khối chóp \( S.ABCD \), ta cần tìm diện tích đáy \( ABCD \) và chiều cao từ đỉnh \( S \) xuống mặt phẳng đáy \( ABCD \). Bước 1: Tính diện tích đáy \( ABCD \) Vì \( ABCD \) là hình thoi có cạnh bằng 3 cm, ta cần tìm độ dài hai đường chéo để tính diện tích. Gọi \( AC \) và \( BD \) là hai đường chéo của hình thoi. Ta có công thức tính diện tích hình thoi: \[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times AC \times BD \] Do \( ABCD \) là hình thoi, các tam giác \( \triangle ABD \) và \( \triangle BCD \) đều là tam giác vuông cân tại \( A \) và \( C \). Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông cân, ta có: \[ AB^2 = \left(\frac{AC}{2}\right)^2 + \left(\frac{BD}{2}\right)^2 \] Vì \( AB = 3 \), ta có: \[ 3^2 = \left(\frac{AC}{2}\right)^2 + \left(\frac{BD}{2}\right)^2 \] \[ 9 = \frac{AC^2}{4} + \frac{BD^2}{4} \] \[ 36 = AC^2 + BD^2 \] Bước 2: Tính chiều cao từ \( S \) xuống mặt phẳng \( ABCD \) Ta biết diện tích tam giác \( SBD \) là 6 cm\(^2\). Gọi \( h \) là chiều cao từ \( S \) xuống mặt phẳng \( ABCD \). Diện tích tam giác \( SBD \) cũng có thể được tính bằng: \[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times BD \times h \] Do đó: \[ 6 = \frac{1}{2} \times BD \times h \] \[ h = \frac{12}{BD} \] Bước 3: Tính thể tích khối chóp \( S.ABCD \) Thể tích khối chóp được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times AC \times BD \times \frac{12}{BD} \] \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times AC \times 12 \] \[ V = 2 \times AC \] Từ phương trình \( 36 = AC^2 + BD^2 \), ta có thể chọn một giá trị hợp lý cho \( AC \) và \( BD \) để tính toán cụ thể, nhưng do không có thêm thông tin, ta chỉ có thể biểu diễn thể tích theo \( AC \). Vậy thể tích của khối chóp \( S.ABCD \) là \( 2 \times AC \) cm\(^3\).