4. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 30 độ. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1. Tính thể tíc...

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các yếu tố của lăng trụ Lăng trụ tam giác \( ABC.A_1B_1C_1 \) có tất cả các cạnh bằng \( a \), nghĩa là các cạnh đáy \( AB = BC = CA = a \) và các cạnh bên \( AA_1 = BB_1 = CC_1 = a \). Bước 2: Xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là \( 30^\circ \). Giả sử \( A_1A \) là cạnh bên, và \( A_1H \) là hình chiếu vuông góc của \( A_1 \) lên mặt phẳng đáy \( (ABC) \). Khi đó, ta có: \[ \cos 30^\circ = \frac{AH}{AA_1} = \frac{AH}{a} \] Suy ra: \[ AH = a \cos 30^\circ = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] Bước 3: Xác định hình chiếu vuông góc của đỉnh A Hình chiếu vuông góc \( H \) của đỉnh \( A \) trên mặt phẳng \( (A_1B_1C_1) \) thuộc đường thẳng \( B_1C_1 \). Do đó, \( H \) nằm trên đường thẳng \( B_1C_1 \). Bước 4: Tính thể tích khối lăng trụ Thể tích của lăng trụ được tính bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. Diện tích đáy \( \triangle ABC \) là: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \] Chiều cao của lăng trụ là \( AA_1 = a \). Vậy thể tích của khối lăng trụ là: \[ V = S_{ABC} \cdot AA_1 = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^3 \] Bước 5: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \( AA_1 \) và \( B_1C_1 \) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \( AA_1 \) và \( B_1C_1 \) là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chứa chúng. Do \( H \) là hình chiếu của \( A \) trên \( B_1C_1 \), khoảng cách này chính là độ dài đoạn \( AH \). Từ bước 2, ta đã tính được: \[ AH = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \( AA_1 \) và \( B_1C_1 \) là \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \). Kết luận - Thể tích của khối lăng trụ \( ABC.A_1B_1C_1 \) là \( \frac{\sqrt{3}}{4}a^3 \). - Khoảng cách giữa hai đường thẳng \( AA_1 \) và \( B_1C_1 \) là \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \).