Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45 độ. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Question

Đặng Đình Tùng · Accepted Answer

{"userId": 5420429, "userName": "Minh Long "}Mình gửi bạn nhé. Chúc bạn học tốt.

Timi · Answer

Để tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các yếu tố hình học:
   - Đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $.
   - Mặt phẳng $ (SAB) $ vuông góc với mặt phẳng đáy $ (ABCD) $, do đó $ SA $ và $ SB $ đều vuông góc với mặt phẳng đáy.
   - $ SA = SB $ cho thấy tam giác $ SAB $ là tam giác cân tại $ S $.

2. Tính độ dài $ SC $:
   - Góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng đáy $ (ABCD) $ là $ 45^\circ $. Điều này có nghĩa là:
     $$
     \tan 45^\circ = 1 = \frac{SA}{AC}
     $$
   - Vì $ AC = a\sqrt{2} $ (đường chéo của hình vuông cạnh $ a $), ta có:
     $$
     SA = \frac{a\sqrt{2}}{2}
     $$

3. Tính chiều cao $ SO $ của khối chóp:
   - Gọi $ O $ là giao điểm của hai đường chéo $ AC $ và $ BD $ của hình vuông $ ABCD $. Khi đó, $ O $ là tâm của hình vuông và $ SO $ là chiều cao của khối chóp.
   - Do $ SA = SB $ và $ SA $ vuông góc với mặt phẳng đáy, $ SO $ cũng chính là $ SA $.

4. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $:
   - Thể tích khối chóp được tính theo công thức:
     $$
     V = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao}
     $$
   - Diện tích đáy $ ABCD $ là:
     $$
     a^2
     $$
   - Chiều cao $ SO = SA = \frac{a\sqrt{2}}{2} $.
   - Do đó, thể tích khối chóp là:
     $$
     V = \frac{1}{3} \times a^2 \times \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}
     $$

Vậy, thể tích khối chóp $ S.ABCD $ là $ \frac{a^3\sqrt{2}}{6} $.