Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,B, AB = BC = a; AD = 2a. Cạnh bên S A vuông góc với đáy (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của AD. Tính thể tích khối chóp S.CDE và tìm tâm...

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính thể tích khối chóp S.CDE 1. Xác định tọa độ các điểm: - Đặt hệ trục tọa độ \( Oxyz \) sao cho \( A(0, 0, 0) \), \( B(a, 0, 0) \), \( C(a, a, 0) \), \( D(0, 2a, 0) \). - Do \( E \) là trung điểm của \( AD \), nên tọa độ của \( E \) là \( \left(0, a, 0\right) \). - \( S \) có tọa độ \( (0, 0, a) \) vì \( SA = a \) và \( SA \perp (ABCD) \). 2. Tính thể tích khối chóp \( S.CDE \): Thể tích khối chóp \( S.CDE \) được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao} \] - Diện tích đáy \( \triangle CDE \): Tọa độ các điểm \( C(a, a, 0) \), \( D(0, 2a, 0) \), \( E(0, a, 0) \). Diện tích tam giác \( CDE \) được tính bằng: \[ S_{CDE} = \frac{1}{2} \left| a(2a - a) + 0 + 0 \right| = \frac{1}{2} \times a^2 = \frac{a^2}{2} \] - Chiều cao từ \( S \) đến mặt phẳng \( (CDE) \): Mặt phẳng \( (CDE) \) có phương trình: \( x = 0 \). Khoảng cách từ \( S(0, 0, a) \) đến mặt phẳng \( x = 0 \) là \( a \). - Thể tích khối chóp \( S.CDE \): \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times a = \frac{a^3}{6} \] Bước 2: Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CDE 1. Tâm mặt cầu ngoại tiếp: Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \( S.CDE \) là điểm cách đều các đỉnh \( S, C, D, E \). - Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng nối các đỉnh: - Trung điểm của \( SC \): \( \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \) - Trung điểm của \( DE \): \( \left(0, \frac{3a}{2}, 0\right) \) - Tâm mặt cầu là trung điểm của đoạn nối hai trung điểm trên: \[ O = \left(\frac{a}{4}, \frac{5a}{4}, \frac{a}{4}\right) \] 2. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: Bán kính là khoảng cách từ tâm \( O \) đến một trong các đỉnh, ví dụ \( S(0, 0, a) \): \[ R = \sqrt{\left(\frac{a}{4} - 0\right)^2 + \left(\frac{5a}{4} - 0\right)^2 + \left(\frac{a}{4} - a\right)^2} \] \[ = \sqrt{\left(\frac{a}{4}\right)^2 + \left(\frac{5a}{4}\right)^2 + \left(-\frac{3a}{4}\right)^2} \] \[ = \sqrt{\frac{a^2}{16} + \frac{25a^2}{16} + \frac{9a^2}{16}} \] \[ = \sqrt{\frac{35a^2}{16}} = \frac{\sqrt{35}a}{4} \] Kết luận: - Thể tích khối chóp \( S.CDE \) là \( \frac{a^3}{6} \). - Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \( S.CDE \) là \( \left(\frac{a}{4}, \frac{5a}{4}, \frac{a}{4}\right) \). - Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là \( \frac{\sqrt{35}a}{4} \).