Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy bằng a và khoảng cách giữa cạnh bên và cạnh đối diện bằng m

Để tính thể tích khối chóp tam giác đều \( S.ABC \), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định các yếu tố cơ bản của khối chóp: - Đáy \( ABC \) là tam giác đều cạnh \( a \). - Gọi \( G \) là trọng tâm của tam giác \( ABC \). Trọng tâm \( G \) cũng là tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác đều \( ABC \). 2. Tính độ dài đường cao của tam giác đều \( ABC \): Đường cao \( h \) của tam giác đều \( ABC \) được tính bằng công thức: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2}a \] 3. Xác định khoảng cách từ đỉnh \( S \) đến mặt phẳng đáy \( ABC \): Gọi \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( S \) lên mặt phẳng \( (ABC) \). Vì \( S.ABC \) là khối chóp tam giác đều, nên \( H \) trùng với trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \). 4. Tính khoảng cách từ cạnh bên đến cạnh đối diện: Theo đề bài, khoảng cách giữa cạnh bên và cạnh đối diện là \( m \). Cụ thể, khoảng cách từ cạnh \( SA \) đến cạnh \( BC \) là \( m \). 5. Tính chiều cao \( SH \) của khối chóp: Do \( H \) là trọng tâm của tam giác đều \( ABC \), nên: \[ HG = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{6}a \] Khoảng cách từ \( S \) đến mặt phẳng \( (ABC) \) là \( SH \). Do đó, ta có: \[ SH = \sqrt{SG^2 - HG^2} \] Từ điều kiện khoảng cách giữa cạnh bên và cạnh đối diện là \( m \), ta có: \[ SH = m \] 6. Tính thể tích khối chóp \( S.ABC \): Thể tích \( V \) của khối chóp được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao} \] Diện tích đáy \( ABC \) là: \[ \text{Diện tích} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \] Do đó, thể tích khối chóp là: \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times m = \frac{\sqrt{3}}{12}a^2m \] Vậy, thể tích của khối chóp tam giác đều \( S.ABC \) là \( \frac{\sqrt{3}}{12}a^2m \).