Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là điểm bất kì nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hìn chóp S.ABCD khi SA = 2a.

Question

gaidepcuto · Accepted Answer

{"userId":5420429,"userName":"Minh Long"}

$$ ext{Gọi } A(0,0,0),\quad B(a,0,0),\quad C(a,a,0),\quad D(0,a,0),\quad S(0,0,2a)$$

$$ ext{Tâm hình vuông } ABCD: \quad O\left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 ight)$$

$$ ext{Gọi tâm mặt cầu ngoại tiếp là } I\left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, h ight)$$

$$IS^2 = \left( \frac{a}{2} ight)^2 + \left( \frac{a}{2} ight)^2 + (h - 2a)^2 = \frac{a^2}{2} + (h - 2a)^2$$

$$IC^2 = \left( -\frac{a}{2} ight)^2 + \left( -\frac{a}{2} ight)^2 + h^2 = \frac{a^2}{2} + h^2$$

$$IS^2 = IC^2 \Rightarrow \frac{a^2}{2} + (h - 2a)^2 = \frac{a^2}{2} + h^2$$

$$(h - 2a)^2 = h^2 \Rightarrow h^2 - 4ah + 4a^2 = h^2 \Rightarrow -4ah + 4a^2 = 0 \Rightarrow h = a$$

$$\Rightarrow I = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a ight)$$

$$R = IA = \sqrt{ \left( \frac{a}{2} ight)^2 + \left( \frac{a}{2} ight)^2 + a^2 } = \sqrt{ \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + a^2 } =\sqrt{ \frac{3a^2}{2} } = a\sqrt{ \frac{3}{2} }$$

$$V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \left( a\sqrt{ \frac{3}{2} } ight)^3 = \frac{4}{3} \pi a^3 \cdot \left( \frac{3\sqrt{3{2\sqrt{2}} ight) = \frac{2\sqrt{6}}{1} \pi a^3$$

$$\boxed{V = 2\sqrt{6} \pi a^3}$$

Timi · Answer

Để tính thể tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $ S.ABCD $, ta cần xác định bán kính của mặt cầu này.

Bước 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $ S.ABCD $

1. Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $ S.ABCD $:

- Hình vuông $ ABCD $ nằm trong mặt phẳng $ (P) $ với tâm $ O $ là giao điểm của hai đường chéo $ AC $ và $ BD $. Do $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $, nên $ O $ là trung điểm của cả hai đường chéo.
   - Độ dài đường chéo $ AC = BD = a\sqrt{2} $, do đó tọa độ của $ O $ là trung điểm của $ AC $ và $ BD $.
   - Tọa độ của $ O $ trong mặt phẳng $ (P) $ là $ (0, 0, 0) $ nếu ta đặt $ A = (0, 0, 0) $, $ B = (a, 0, 0) $, $ C = (a, a, 0) $, $ D = (0, a, 0) $.

2. Tọa độ của điểm $ S $:

- Điểm $ S $ nằm trên đường thẳng $ At $ vuông góc với mặt phẳng $ (P) $ tại $ A $, nên tọa độ của $ S $ là $ (0, 0, 2a) $.

3. Tâm của mặt cầu ngoại tiếp:

- Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $ S.ABCD $ là trung điểm của đoạn thẳng nối từ $ O $ đến $ S $.
   - Tọa độ của tâm mặt cầu là $ M = \left(0, 0, \frac{2a}{2}\right) = (0, 0, a) $.

4. Bán kính của mặt cầu:

- Bán kính $ R $ của mặt cầu là khoảng cách từ $ M $ đến một trong các đỉnh của hình chóp, chẳng hạn $ A $.
   - Khoảng cách $ MA = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (a - 0)^2} = a $.

Bước 2: Tính thể tích của mặt cầu

Thể tích của mặt cầu có bán kính $ R = a $ được tính theo công thức:
$$
V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi a^3
$$

Vậy, thể tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $ S.ABCD $ là $ \frac{4}{3} \pi a^3 $.